当前位置 博文首页 > 老猿Python:人工智能数学基础--不定积分1:概念与性质
导数运算是根据一个函数求该函数对应导数的运算,导数本质上反映了函数在函数某点的运动态势,而不定积分则是根据一个已知的导函数求原函数,因此二者可以说是逆运算。
如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一x∈I,都有:
F’(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dx,
那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的一个原函数。
定理:如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一x∈I都有:
F’(x)=f(x)。
简单地说就是:连续函数一定有原函数。
如果f(x)在区间I上有原函数,即有一个函数F(x),使对任一x∈I,都有F’(x)=f(x),那么,对任何常数C,显然也有:
[F(x)+C]’=f(x)
即对任何常数C,函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明,如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。
定义:
在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作:
其中记号 ∫ 称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积
分变量。
由此定义及前面的说明可知,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)+C就是f(x)的不定积分,即:∫ f(x)dx=F(x)+C
因而不定积分∫ f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数。
函数f(x)对应的原函数几何图形称为f(x)的积分曲线。
由不定积分的定义可知:不定积分∫ f(x)dx是f(x)的原函数,所以:
或:
d[∫f(x)dx] = f(x)dx
d[∫F’(x)dx]=∫dF(x)=F(x)+C
由此可见,微分运算(以记号d表示)与求不定积分的运算是互逆的,当记号d与∫连在一起时,要么相互抵消,要么抵消后差一个常数。
从导数运算可以推导出积分运算,以下十三个基本积分公式是不定积分的基础,必须熟记:
另外针对双曲函数(请参考《人工智能数学基础11:集合、函数及相关概念补充》)有如下积分公式:
下面是在基本积分公式基础上扩展出来的几个常用公式:
本文介绍了不定积分的概念、性质以及基本的不定积分表,需要注意不定积分的运算公式只有加法和数乘的,没有象导数和微分那样还有乘除等运算公式。
本文内容是老猿学习同济版高数的总结,有需要原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、、图像处理原理介绍相关电子资料,或对文章内有有疑问咨询的,请扫博客首页左边二维码加微信公号,根据加微信公号后的自动回复操作。
更多人工智能数学基础请参考专栏《人工智能数学基础》。
如果阅读本文于您有所获,敬请点赞、评论、收藏,谢谢大家的支持!
前两个专栏都适合有一定Python基础但无相关知识的小白读者学习,第三个专栏请大家结合《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9979286.html OpenCV-Python图形图像处理 》的学习使用。
对于缺乏Python基础的同仁,可以通过老猿的免费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9831699.html 专栏:Python基础教程目录)从零开始学习Python。
如果有兴趣也愿意支持老猿的读者,欢迎购买付费专栏。