当前位置 博文首页 > 老猿Python:人工智能数学基础---定积分2:定积分的性质
在《人工智能数学基础—定积分1:定积分的概念以及近似计算》介绍了定积分的概念、几何意义、用定义来求定积分的案例以及使用矩形法、梯形法和抛物线法求定积分近似值的方法和案例等基础知识,根据上文的介绍,结合相关知识补充如下2条规则:
可以知道,交互积分区间的上下限,则定积分的绝对值不变但符号相反。
设α和β为常数,函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积,则:
即定积分满足加法和数乘的线性运算规则,证明过程如下:
上述公式中λ为可积区间分成n分后的最大区间值。
实际上,该规则对于任意有限个可积函数的线性组合同样成立。
设函数f(x)在区间[a,b]上可积,设a<c<b,则:
这个证明很简单,根据定积分的定义及极限即可以快速证明。
实际上,根据积分的补充规则,上述公式对于不满足a<c<b的情况只要三者在一个连续区间上,其中一个属于该区间内的一点同样成立,而不需要确认谁在前、谁在后。
如函数f(x)在区间[a,b]上恒等于1,则:
如果函数f(x)在区间[a,b]上恒大于等于0,则:
根据积分定义即可证明。
推论1:如果在区间[a,b]上函数f(x)≤g(x)且二者可积,则:
推论2:如果在区间[a,b]上函数f(x)可积,则:
设M和m是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值,且函数f(x)可积,则:
根据这个性质,可以根据被积函数的最大值和最小值,估算积分值的范围。
证明:
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,那么在区间[a,b]上至少存在一点ξ,使得:
这个公式叫做积分中值公式。其中:
称为函数f(x)在区间[a,b]上的平均值。
证明:
由《人工智能数学基础6:极限、极限运算、ε-δ语言、ε-N语言、级数和函数连续性》介绍可知,闭区间上的连续函数在该区间上一定有界,存在最大值M、最小值m,且有介值性。
因此根据性质5有:
这表明,而:
一定是一个确定的值,按照连续函数介值性,则在区间[a,b]上至少存在一点ε,使得:
两边乘以b-a即可得证。
说明:无论a>b还是a<b,积分中值公式都成立。
积分中值公式有如下的几何解释:在区间[a,b]上至少存在一点ε,使得以区间[a,b]为底边、以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f(ε)的一个矩形的面积(图5-5)。
本文介绍了定积分的性质,包括线性组合运算、保号性、区间可加性、积分中值定理等。
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