当前位置 博文首页 > 老猿Python:人工智能数学基础--不定积分2:利用换元法求不定积
在《人工智能数学基础–不定积分1:概念与性质》介绍了必须熟记的十三个基本积分公式及十一个扩展公式,利用这些公式以及不定积分的加法以及数乘性质,可以进行部分积分的计算,但非常有限,因此有必要进一步研究不定积分的计算。
本文介绍利用中间变量代换,将函数化为复合函数,利用复合函数求积分,相关方法称为换元积分法,简称换元法。
换元法分为两类,第一类是通过形如u=φ(x)变量代换后将函数化为某复合函数导数的形式,第二类是将x=ψ(t)进行变量代换,将代换后的函数化为某复合函数导数的形式。
定理:设f(u)具有原函数,u=φ(x)可导,则有换元公式:
由此定理可见,虽然∫f[ φ(x]φ’(x)dx是一个整体记号,但从形式上看,可以认为是方便应用积分表进行计算的积分:∫f[φ(x]dφ(x)。
因此第一类换元法的核心思想是将∫f(x)dx形式的积分表达式中的f(x)dx化为φ(x)φ’(x)dx。
书中案例很多,挑3个有代表性稍微复杂的案例,以供大家理解:
一般地,对于积分∫f(ax+b)dx (a≠0),总可作变换u=ax+b,把其化为:
一般地,对于sin2k+1x cosnx或sinnx cos2k+1x型的函数积分,总可以作变换u=sinx或u=cosx,求得结果。
类似地,对于tannx sec2kx或tan2k-1x secnx型的函数积分,总可以作变换u=tanx或u=secx,求得结果。
一般地,对于sin2mx cos2nx型的函数积分,总可以利用三角恒等式sin2x=(1-cos2x)/2或cos2x=(1+cos2x)/2作变换化成cos2x的多项式,然后用上例的方法求得结果。类似地还可以利用和差化积或积化和差等三角恒等式进行变换。
定理:设x=ψ(t)是单调的可导函数,并且ψ’(t)≠0,又设f[ψ(t)]ψ’(t)具有原函数,则有换元公式:
其中ψ-1(t)是x=ψ(t)的反函数。
下面看个书中的案例:
注意:老猿在这里思考了一下,为什么能用x=asint?这是因为a2 - x2决定了x2∈[0,a2],因此对于满足该要求的x都可以用asint来表达。
从上面的例子可以看出(受文字输入影响,下面的描述中根号用?表示):
类似地:
但具体解题时要分析被积函数的具体情况,选取尽可能简捷的代换,不要拘泥于上述的变量代换。
除了上面介绍的2类代换外,还有一种用于消去分母中自变量的倒代换。
本文介绍了三种换元法求不定积分的方法及案例,但具体解题时要分析被积函数的具体情况,选取尽可能简捷的代换,不要拘泥于特定的变量代换。
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