在数学分析的级数理论中，有一类常见的题目，其中涉及到
cosθ+cos2θ+?+cosnθ(1)

和
sinθ+sin2θ+?+sinnθ(2)

之类的正弦或者余弦级数的求和，主要是证明该和式有界。而为了证明这一点，通常是把和式的通项求出来。当然，该级数在物理中也有重要作用，它表示n个相同振子的合振幅。在我们的数学分析教材中，通常是将级数乘上一项sinθ2，然后利用积化和差公式完成。诚然，如果仅限在实数范围内考虑，这有可能是唯一的推导技巧的。但是这样推导的运算过程本身不简单，而且也不利于记忆，在大二的时候我就为此感到很痛苦。前几天在看费曼的书的时候，想到了一种利用复数的推导技巧。很奇怪，这个技巧是如此简单——写出来显得这篇文章都有点水了——可是我以前居然一直没留意到！看来功力尚浅，需多多修炼呀。
有时候，一次性计算更多的东西，往往比单一计算一部分更加快捷，让我们同时来考虑(1)和(2)，我们计算
cosθ+cos2θ+?+cosnθ+i(sinθ+sin2θ+?+sinnθ)

利用欧拉公式，上式也就是
eiθ+e2iθ+?+eniθ

这只是等比级数求和！易得
eiθ(eniθ?1eiθ?1)=e(n+1)iθ/2(eniθ/2?e?niθ/2eiθ/2?e?iθ/2)

括号里的结果也就是
sinnθ2sinθ2

所以总的结果也就是
(cos(n+1)θ2+isin(n+1)θ2)sinnθ2sinθ2

根据实部和虚部相等的原则，就有
cosθ+cos2θ+?+cosnθ=cos(n+1)θ2sinnθ2sinθ2

和
sinθ+sin2θ+?+sinnθ=sin(n+1)θ2sinnθ2sinθ2
整个过程多么简洁，几乎一气呵成。里边也不是什么精湛神秘的技巧，所以特别奇怪，怎么我现在才注意到？

类似地，也可以得出
cos(ω+θ)+cos(ω+2θ)+?+cos(ω+nθ)

的求和公式（仅仅是多乘了一个相位因子~~）