这里主要是对比两者不同，和优缺点，具体的两者的推导过程可以参考https://blog.csdn.net/weixin_44467105/article/details/104841966

一.对于一阶导和二阶导的理解。
网上大部分都是说由于牛顿法用了二阶导，而梯度下降算法用了一阶导，所以牛顿法更快，基本都没说具体原因，这里我结合下自己对于数学的理解，谈谈对于这个点的理解。
梯度下降算法也被称为“最速下降”，顾名思义就是因为他的下降速度很快，因为它是沿着梯度的方向，意思就是沿着变化速度最快的方向，所以收敛速度比较快。
这也就是所谓梯度下降算法的一阶导数的作用。
但是相对于牛顿法来说，牛顿法不仅考虑一阶导数而且采用了二阶导数，个人理解这里的含义就是不仅考虑到下降最快的方向（一阶导数），而且考虑到更新之后的梯度的变化幅度（二阶导数）。
所以牛顿法的收敛速度应该是比梯度下降算法更快的。

二.为什么说Hessian矩阵要正定.
牛顿法的目标是求极小值，对于极小值点我们要求一阶导数为0，二阶导数大于零，同时满足这两个条件才是极小值点，这是从数学上的定义，我们用牛顿法做迭代时，公式的得出就是假设一阶导数为0的（具体什么个公式可以看上面链接，那里有推导过程），所以我们还需要二阶导大于0。当Hessian矩阵正定时，我们就可以得出，这个东西一定是大于0的，因为正定矩阵的条件就是XHX>0，（H为正定矩阵，这里前面的X实际是转置）。

三.优缺点对比
牛顿法优点：收敛速度快

牛顿法缺点：
1.需要计算Hessian的逆矩阵，计算量比较大，而且是每次迭代都要计算
2.牛顿法是局部收敛的

梯度下降算法优点：对于凸函数问题可以全局最优

梯度下降算法缺点：收敛比较慢