当前位置 博文首页 > leslie lee的博客（python ansys）：非线性动力学 nonlinear dyn
参考：Friswell M I , ?Penny J , ?Garvey S D , et al. Dynamics of Rotating Machines. cambridge university press, 2010.
只有小位移时
非线性弹簧可被线性化，kx
非线性库伦阻尼可被线性化，可等效为一个当量粘性阻尼，cx'
现在考虑一个单自由度系统中，弹簧的位移与力的关系为非线性， 
承受简谐激励力，计算稳态时的响应？
?? Duffing equation
谐波平衡法将响应视为周期响应，所以响应可写作多个简谐函数的叠加，即傅里叶级数
，w为激励力的频率。
该方法只能求稳态解。
谐波平衡法，假设响应为
式1
式2
将激励力改写如下
式3
将三个式子带入动力学方程得到两个方程，（关于cos为0与sin为0两个方程）
式4
式5
两个方程求平方再相加，消去Φ，得到一个方程
式6
通过式6求解响应的幅值a，通过式5求响应的相位Φ。
线性系统，一个激励力对应一个响应（幅值与相位），非线性系统，一个激励力对应多个响应。
如图，在k m c h f0如此设置，
，
为无量纲数，a随着w的变化。
w由小到大，a增大到一点(1.75处)后突然跳变，逐渐减小。
w由大到小，a增大到一点(1.22处)后突然跳变，逐渐减小。
跳变表明系统发生了质变，跳变也称分叉。
其实这是书上这么写的，但我编程并没有发现如此。
import sympy as sp
import numpy as np
# 设定参数值
m = 1 # kg
k = 10*10e3 # kN/m
c = 10 # Ns/m
h = 50*10e6 # MN/m3 M=10e6
f0 = 20 # N
# a 为待求解
a = sp.symbols('a',real=True) # 只求实数 , real=True
# 线性系统的固有频率
wn = np.sqrt(k/m)
# a随w的变化
for k in np.arange(0,3,0.005): # 频率比
w = k*wn
eq = (-m*w**2+k+3/4*h*a**2)**2*a**2+c**2*w**2*a**2-f0**2
result = sp.solve(eq,a)
result = np.array(result)*10e3 # m convert to mm
result = np.unique(np.abs(result)) # 求模 去重
print(result)
工科学生不懂没事，不懂就学，说错也没事，知错就改，但要把明确的概念来作不明确的表达就是你的问题了。
令
，得
得到两个方程
这个思路错了，但是如果按照三角公式应该也可以化简出来，最简便的就是直接设响应为复指数而不是简谐函数
令
，得
化简为
二元一次方程大家都会解了
注：我在求解固有频率时，未考虑响应的相位，这不影响求解固有频率
import sympy as sp
m,c,k,w = sp.symbols('m,c,k,w')
result = sp.solve(-m*w**2+1j*w*c+k,w)
print(result)
# 注意： sympy结果 I 表示虚数针对本问题求解固有频率
令，得
得
该非线性方程得到固有频率会随时间变化。
分岔图用来展示系统的非线性和混沌效应
激励力为简谐函数，频率w（角频率）
>129或<96时，响应为简谐函数，频率w
129>w>96时，如w=100，响应为周期函数，即复合的简谐函数，包括了基频与次倍频；如w=120，响应为非周期函数，是混沌的。
w=100
w=120
通过庞加莱图来分析w=120时的混沌效应
计算稳态位移与速度，注意：作图时，速度与位移采样率相同
如果是周期响应，庞加莱图绘制成的是一个固定形状。
（线性阻尼系统的在不受力时，没有响应，但非线性阻尼系统并非如此。）
自激系统：给系统初始条件，使其自由振动，振动会越来越大，因为系统有负阻尼。
?? Van der Pol equation
limit cycle：由于系统还有正阻尼，使得振动不会无限大，最终振动为一稳态振动。
菱形为初始条件，不论初始条件多少，最终稳态运动为limit sycle（实线圈）
sub-harmonics 低阶?
super-harmonics 高阶
chaotic混沌
harmonic-balance method谐波平衡法
trigonometric formulate三角公式
be truncated被截断
Duffing
bifurcation diagram分岔图
to name just three 仅举三个例子
Poincare map庞加莱图
quasiperiodic准周期
chaotic混沌
phase plane相平面
self—excited system自激系统
庞加莱被公认是19世纪后和20世纪初的领袖数学家，是继高斯之后对于数学及其应用具有全面知识的最后数学家。
