流体力学：如何构建pde，cfd：如何求解pde，cfd可看作流体力学的一个分支。
两个期刊：Journal of Fluid Mechanics、Journal of Computational Physics。
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描述流体运动的两种方法

拉格朗日法、欧拉法
研究风速，在固定点安装风速仪，在气球上安装风速仪。
研究某一固定点经过的所有质点，研究某一质点，这都可以研究流体。
前者是欧拉法，后者是拉个格朗日法。

质点导数

质点导数：质点的物理量Φ对于时间的变化率
拉格朗日法质点导数：
欧拉法质点导数：

全导数只是针对欧拉法定义的，在拉格朗日法中，某一质点物理量变化率就是，在欧拉法中，某一质点物理量变化率为全导数

也称：
advective derivative?平流导数
convective derivative?对流导数
derivative following the motion 随体导数
hydrodynamic derivative?流体动力导数
lagrangian derivative?拉格朗日导数
particle derivative 质点导数
substantial derivative?实质导数
substantive derivative?实质导数
Stokes derivative?斯托克斯导数
total derivative?全导数

任何宏观张量场y=y(x,t)其物质导数为
标量场与矢量场

NS方程组

1为连续性方程，2为动量方程

为0阶张量—标量，U为1阶张量—向量
UU为2阶张量—矩阵，
为1阶张量—向量
为二阶张量—矩阵
为0阶张量—标量
所以两个方程写成分量形式为六个方程。

从有限控制体推导的方程为积分形式，分为空间位置固定的有限控制体、随流线运动的有限控制体。若采用空间位置固定的控制体，方程为守恒型方程。若采用随流线运动的控制体，方程为非守恒型。
从无穷小微团推导出来的方程为微分形式，分为空间位置固定的无穷小微团、随流线运动的无穷小微团。
积分形式的方程和微分形式的方程有重要的区别。积分形式的方程可在控制体内出现间断。因为数学上并没有要求被积分的函数不能出现间断。但微分形式的方程要求函数是连续的，否则不可导。

强度量、广延量

intensive quantity、extensive quantity

强度量：与物质的数量无关的量
广度量：与物质的数量有关的量

全导数

全导数 = 局部导数 + 对流导数

根据守恒列方程

连续性方程——质量守恒定律
动量方程——牛顿第二定律
能量方程——能量守恒定律

张量积

也称外积

Nabla算子

为梯度。矢量函数F，为二阶张量，标量函数F，为一阶张量。
矢量函数F，为散度，为旋度。

连续性方程

欧拉法

微分形式的连续性方程

积分形式的连续性方程

拉格朗日法

通量、散度

通量 flux：
热学与流体力学中单位时间内通过单位面积的具有方向的流量（向量）
电磁学中单位面积上垂直于其表面的磁场或电场的强度（标量）

体积通量：速度矢量与面矢量的内积
?

速度散度：单位体积流动着的控制体体积随时间的变化率

散度divergence

动量方程

表面力：作用在流体微团面上，压力、表面张力
体积力：作用在流体微团面上与体内，重力、惯性力

应力、压强

应力：物体（表面与内部）单位面积承受的力，正应力与剪应力
压强：物体表面单位面积法向分量的力，压强为正应力
正应力使得物体压缩或膨胀；剪应力使得物体变形，剪应力与形变速率成正比，流体受剪应力主要表现为流体粘性。

非守恒

守恒

连续性方程+非守恒动量方程 推出 守恒动量方程

本构关系

本构关系：剪应力与形变速率的关系（固体力学：应力与应变的关系）
形变率、剪应力是二阶张量

剪应力——形变率——速度

不可压缩流体

可压缩流体

将本构关系带入动量方程，此时动量方程才是封闭的
不可压缩流体
?也可写作（第二种形式只针对不可压缩流体）
可压缩流体

湍流

1877年——1955年
Reynolds：时间平均
Boussinesq：涡粘
Prandtl：边界层；用混合长湍流模型（零方程湍流模型）计算湍流粘度；考虑湍流动能，一方程湍流模型
Kolmogorov：考虑了湍流动能k与能量耗散w，关于k与w的PDE，两方程湍流模型
Rotta：二阶矩湍流模型（雷诺应力传输模型）

目前湍流的数值研究方法主要有：DNS、LES、RANS

湍流模型：Spalart-Allmaras湍流，K-ω湍流，k-ε湍流和SST模型

DNS

Kolmogoroff尺度
主要是有限差分法、谱方法

术语：
网格尺度
粘性尺度
一阶迎风格式
无反射边界条件
无滑移边界条件

LES

湍流中的大涡往往比小涡更具有能量
滤波速度filtering velocity
滤波尺度?
大涡模拟认为，尺度大于?就是大涡，尺度小于?就是小涡
模化
亚格子应力Subgrid-Scale Stress
Bousinessq方法
Smagorinsky湍流模型

RANS

稳态的雷诺平均通常采用时间平均法，非稳态的雷诺平均通常采用集合平均法。
Boussinesq 假定将未封闭的湍流应力与湍流粘度联合起来，这样，就把未知量转化为了湍流粘度变
量

Spalart-Allmaras 模型以及 SST 模型

RSM

雷诺应力模型

DES

分离涡模型

二维模拟

目前学术界普遍的看法是：“无三维涡，则无湍流”。“只有在三维的情况下，流体自身的涡旋才能伸展。”但是大量的文献依旧通过二维大涡模拟、甚至二维直接模拟进行相关研究。

结构网格、非结构网格

结构网格思想更偏向于有限差分。有限体积法则不限定于任何网格类型，更适用于非结构网格。
网格节点序号、网格节点与面相连序号

非结构网格通量计算

非结构网格TVD格式范例

动理学方程

N-S 方程并不是描述流动的最底层的形式。更为底层的数学模型为玻尔兹曼方程。。其在不同的领域有不同的称呼。例如在群体平衡模型研究领域，被称之为普适性群体平衡模型，在空气动力学领域被称之为动理学方程，在喷雾燃烧领域被称之为威廉玻尔兹曼方程。

玻尔兹曼方程

f 气体分子速度分布函数
U 气体分子速度
A 受力引起的气体分子加速度
C 碰撞项

麦克斯韦分布

高斯分布

麦克斯韦分布为高斯分布的各向同性形式

矩方程、五矩模型、十矩模型

守恒与非守恒、守恒变量与原始变量

非牛顿流体

牛顿流体：流体的粘度为常数（剪切应力和形变率的比值为定值）
非牛顿流体：流体的粘度与时间和位置有关

参考

https://www.zhihu.com/question/26992291/answer/1448275421
https://zhuanlan.zhihu.com/p/146396629
https://wuli.wiki/online/fluid2.html
无痛苦N-S方程笔记

continuum mechanics连续介质力学
derivative导数
differentiation偏微
covariant derivative共变导数

never say never，嘿嘿嘿。