固体力学有限元法的单元

梁杆

局部杆单元——平面杆单元、空间杆单元
局部梁单元——平面梁单元、空间梁单元

平面问题

平面应变问题：
平面应力问题：

平面三角形单元
局部平面矩形单元——平面4~8节点单元

空间问题

空间轴对称问题：

空间四面体单元
空间轴对称三角形单元
局部空间轴对称矩形单元——空间轴对称4~8节点单元
局部空间六面体单元——空间8~20节点单元

板壳

板单元
壳单元

疑问

平面三角形单元、空间轴对称三角形单元、空间四面体单元的关系？
局部平面矩形单元、局部空间轴对称矩形单元、局部空间六面体单元的关系？

可以看出各自对应的 平面单元与空间轴对称单元的位移模式、形函数是一样的。（平面三角形与轴对称三角形、平面矩形与轴对称矩形）
需要将局部坐标系单元映射成整体坐标系单元。

单元每条边增加一个节点，又可推出4~8节点的局部平面矩形单元、局部空间轴对称单元、8~20节点的局部空间六面体单元。还可以增加两个节点等。

局部坐标系到整体坐标系的映射

局部坐标系的梁杆单元通过转换矩阵，变化到整体坐标系。即局部坐标系的刚度矩阵与整体坐标系的刚度矩阵间的关系。
不像梁杆单元，可以直接推出刚度矩阵的形式，平面单元、空间单元刚度矩阵形式不是固定的。所以前者只需要刚度矩阵进行映射，后者需要构成刚度矩阵的元素进行映射然后再积分才能得出刚度矩阵。

局部坐标系与整体坐标系刚度矩阵的映射有两点，，即几何矩阵（应变矩阵）B的映射、体积元的映射。
局部坐标系与整体坐标系结点力向量的映射有一点，，即体积元的映射。

数值分析求积分，如高斯积分。

形函数矩阵N

N的行数等于每个节点自由度的个数
N的列数等于每个节点自由度的个数乘以节点数

位移模式、形函数？

位移模式u=f(x,y)，由单元内任意一点的坐标得到该点的位移，即通过函数建立起坐标场与位移场的关系。
形函数Ni=Ni(x,y)，由单元内任意一点的坐标得到该点的形函数值。
位移模式可写作形函数矩阵与单元节点位移向量的乘积，，即通过形函数矩阵N建立起单元节点位移与位移场的关系。

由基本未知量划分有限元种类

我们常见的是以位移为基本未知量，结构受外力，求解出位移、内力，由位移得到应力、应变。这是有限元的一种，称为协调模型。

协调模型：以位移为基本未知量，变分原理为最小势能原理。系统势能用位移表达，系统势能变分为0，导出单元方程。
平衡模型：以应力为基本未知量，变分原理为最小余能原理。
混合模型：以位移、应力为基本未知量，变分原理为Hellinger—Reissner variation principles
杂交模型：在单元内以应力为基本未知量，在单元间边界以位移为基本未知量
杂交混合模型：在单元内以位移、应力为基本未知量，在单元间边界以位移为基本未知量

广义变分原理

变分原理：把一个物理学问题（或其他学科的问题）用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题。如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。

略论Hellinger-Reissner和胡海昌-鹫津久一郎两种广义变分原理的联系 胡海昌
胡鹫变分原理（Hu-Washizu variation principles）：以位移、应力、应变为基本未知量，其他变分原理都是他的特例

http://blog.sciencenet.cn/blog-39472-417924.html

ANSYS中的单元

单元分类

七大类单元：结构单元、热单元、电磁单元、耦合场单元、流体单元、网分单元、显示动力分析单元

结构：点单元、线单元、梁单元、实体单元、壳单元、实体壳单元、界面单元、多点约束单元、层合单元
热：点单元、线单元、实体单元、电单元、壳单元
电磁：plane、solid、hf
显式动力单元
黏弹实体单元visco
耦合场单元：solid、plane、rom
接触单元conta、target
流体单元fluid
机电单元trans
电路单元sourc、circu
组合单元combin、prets
矩阵单元matrix、无限元infin、表面单元surf、随动载荷单元follow、网分单元mesh、钢筋单元reinf
用户自定义单元user

输入参数

单元名称、节点、自由度、实常数、材料性质、荷载、单元特性、关键选项

结果输出

节点解（节点自由度解与约束节点的反力解）、单元解

坐标系

单元坐标系、在结点坐标系下的单元定义

结构单元

link杆单元、beam梁单元、shell壳单元、pipe管单元、elbow弯管单元、combin弹簧单元、solid3D实体单元、plane2D实体单元、mass质量单元、matrix矩阵单元、conta、target接触单元、surf表面效应单元、mpc单元、特殊单元（prets、mesh、follow、combi、reinf）

参考书籍

结构分析的有限元法与MATLAB程序设计 徐荣桥
有限元分析基础教程 曾攀
有限元分析及应用 曾攀
计算流体力学有限元方法及其编程详解 毕超
ANSYS结构分析单元与应用 王新敏