非线性nonlinear、随机stochastic、混沌chaos、分岔bifurcation、分形fractal

非线性

线性函数有两个性质：叠加性、齐次

非线性代数方程 ，线性代数方程
非线性微分方程，线性微分方程
非线性递回关系，线性递回关系

0<r<1，x1=1，

虽然这个图像是曲线不是直线，但该递回关系是线性的。线性指的是输入与输出间的关系，而不是输出。

非线性的表现：经典混沌、多稳态、非周期振荡、振幅死亡、孤波

动力系统

动力系统：描述变量随时间变化的一组函数

变量：随时间变化，参数：不随时间变化
离散：时间不连续，连续：时间连续
随机：一对多，确定：一对一

确定性非线性动力系统

logistic差分方程

增长模型
限制增长模型（logistic映射）

横轴n，纵轴x，起始点x(1)=0.5
r=0.25，0.5，0.75???????????????????????????????? r=1.25，2，2.75??????????????????????????

????????????????????? r=3.2?????????????????????????????????????????????????????? r=3.54?????????????????????????????????????????????????? r=3.99

吸引子：一个系统有朝某个稳态发展的趋势，这个稳态就叫做吸引子。吸引子分为平庸吸引子和奇异吸引子。平庸吸引子有不动点（平衡）、极限环（周期运动）和整数维环面（概周期运动）三种模式。而不属于平庸的吸引子的都称为奇异吸引子，它表现了混沌系统中非周期性。
上面五张图，吸引子个数分别为：1、1、2、4、n。
r=3.2，分岔，周期为2
r=3.54，分岔，周期为4（excel里面计算过，比如前四个与后四个只是近似相等）
r=3.99，混沌

分岔图

纵轴为r对应的稳定值。r=1~3时，系统为单点吸引子；r超过3.57，系统混乱；但r超过3.57也有不混乱的，比如r=3.83为三点吸引子。

对初始条件敏感

x1=0.3与x=0.301??????r=3.99???????????????????????????????????????????????? x1=0.3与x=0.3000001???? r=3.99

混沌

表观随机性、确定性、初值敏感

二维动力系统

x维数大于1，系统的状态由当前变量值描述，是相空间的一点

捕食者—猎物系统

捕食者—猎物系统，二维连续动力系统

二维离散动力系统

捕食者—猎物系统有四种情况

理想的捕食者—猎物系统

捕食者数量不增加，猎物数量变化

二维吸引子为极限环（一维为不动点）

屈曲

x为压杆的纵向位移，y为速度

a，b，m质量，c阻尼，这是参数

不同参数下的相图

吸引域：同时增加、同时减小、一增一减

三维动力系统

洛伦兹系统

大气动力学

极限点

attractor吸引子：最终轨迹趋于该点
repellors排斥子：最终轨迹远离该点
Saddle points鞍点：一些轨迹的吸引子，另一些轨迹的排斥子

分形

分形维：一条直线三等分去掉中间一个，一直迭代下去无穷次，形成cantor集。该集合点和实数一样多，但长度为0，听起来很奇怪？豪斯道夫提出不同维数要用不同的度量方法，而我们用0维测量该集合，说其长度为0。豪斯道夫维N图形测度放大倍数、r图形尺度放大的倍数，cantor集维数为log2/log3

为什么关注分形：自然物体是分形的；混沌轨迹是分形的

科克曲线：每条边都画一个三角形

补充

递归图：横轴x(n)，纵轴x(n+1)
嵌入维：递归图是二维

period doubling周期倍增
asymptotic渐进
transient暂态
differential equations微分方程
difference equations差分方程

参考
Basic Concepts in Nonlinear Dynamics and Chaos https://www.vanderbilt.edu/AnS/psychology/cogsci/chaos/workshop/Workshop.html#IntroDS

相平面、相空间

一个质点的状态可由位置、速度描述，力学系统有n个质点，力学系统的所有可能状态构成相空间。一个质点的状态可由2个变量描述（位置x；速度v），则力学系统的所有可能状态构成相平面。
相：质点运动状态
相点：相空间的一点，即质点运动的某一状态
相图、相轨迹：相空间的一条曲线
奇点：相图上速度与加速度同时为0的点

参考
相平面 相空间 https://wenku.baidu.com/view/72678219580102020740be1e650e52ea5518ceb1.html

质点、流体质点

质点：有质量但不存在体积或形状的点。
流体质点：一个体积很小、但仍然大得足以满足连续介质假定的流体元。宏观尺寸非常小，而微观尺寸足够大。

经典力学：质点及刚体力学（课程：理论力学、分析力学等）、连续介质力学（课程：材料力学、弹性力学、流体力学、连续介质力学、转子动力学等）

力学假定——assumptions of mechanics

连续介质力学公理
物理学中的各公理
连续介质在力的作用下仍保持为连续介质
在物体内处处可以确定应力、应变
一点处的应力与该点处的应变以及应变随时间的变化率有关
参考：连续介质力学初级教程 冯元帧

经典力学假定
时间和空间是绝对的，长度和时间间隔的测量与观测者的运动无关；只适用于与光速相比低速运动的情况；物质间相互作用的传递是瞬时到达的。
一切可观测的物理量在原则上可以无限精确地加以测定。

材料力学
连续：物理量密度、应力、形变、位移等连续
均匀：物体由同一材料组成
各向同性：物体内一点的弹性在各个方向都相同，即弹性常数不会随方向变化
微小位移与微小形变：位移小于物体原来尺寸，应变与转角小于1
参考：材料力学 刘鸿文

弹性力学假定
连续
完全弹性：完全服从胡克定律
均匀
各向同性
微小位移与微小形变
参考：弹性力学 徐芝纶

流体力学假定
密度为单值和连续可微函数
速度为单值和连续可微函数
内应力为单值和连续可微函数，内应力：不受外力时，连续介质的应力
参考：工程流体力学 黄卫星