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leslie lee的博客（python ansys）：常见的二阶PDE

作者：[db:作者] 时间：2021-06-25 15:20

今天说一下常见的二阶PDE属于什么类型，我要说的二阶PDE出现在流体力学、弹性力学、传质传热中。

二阶线性PDE与二次曲线、二次曲面

二阶线性PDE

二元
$A(x,y)u_{xx} + B(x,y)u_{xy} + C(x,y)u_{yy} + D(x,y)u_x + E(x,y)u_y + F(x,y)u + G(x,y) = 0$

三元
$A(x,y,z)u_{xx} + B(x,y,z)u_{xy} + C(x,y,z)u_{xz} + D(x,y,z)u_{yy} + E(x,y,z)u_{yz} + F(x,y,z)u_{zz}+ G(x,y,z)u_x + H(x,y,z)u_y + I(x,y,z)u_z + J(x,y,z)u + K(x,y,z)= 0$

微分方程的线性：u及其导数为线性的

二次曲线、二次曲面

二元二阶线性PDE对照二元二次圆锥曲线、三元二阶线性PDE对照三元二次圆锥曲线

二次曲线也称圆锥曲线，是因为由平面去截取圆锥面得到二次曲线

二元
A(x,y)x^2 + B(x,y)xy + C(x,y)y^2 + D(x,y)x + E(x,y)y + F(x,y) = 0

三元
A(x,y,z)x^2+ B(x,y,z)xy + C(x,y,z)xz + D(x,y,z)y^2 + E(x,y,z)yz + F(x,y,z)z^2+ G(x,y,z)x + H(x,y,z)y + I(x,y,z)z + J(x,y,z) = 0

绘制一个二次曲线与二次曲面

判断圆锥曲线的类型

二元圆锥曲线可写作

退化：圆锥曲线是空间曲线，退化指空间曲线退化为直线、点。

判断是否退化： $detA_Q \neq 0$ 则未退化，反之退化
如果未退化，判断类型： $detA_{33}$ ? ? >0为椭圆（圆是一个特例），<0为双曲线，=0为抛物型

三元二次曲面
$A_{33} = [[A, B/2, E/2], [B/2, D, C/2], [E/2, C/2, F]]^T$
$A_{Q} = [[A, B/2, E/2, G/2], [B/2, D, C/2, H/2], [E/2, C/2, F, I/2],[G/2, H/2, I/2, J]]^T$
?同样用行列式判断是否为椭球面、抛物面、双曲面

判断线性二元二阶PDE的类型同二次曲线，三元二阶PDE的类型同二次曲面

四元二阶PDE

$A u_{xx}+B u_{xy}+C u_{xz}+D u_{xt}+E u_{yy} + F u_{yz}+ G u_{yt} + H u_{zz} +I u_{zt} +J u_x + K u_y + L u_z + M u_t + N u + O=0$

这就很复杂了，但这种方程我们会遇到的，物理世界是一个三维空间且随时间会变化。

如何判断类型仍然同前面，但太麻烦了，我不想写了。
二元对应二次曲线，三元对应二次曲面，四元就无法用几何表达了。
注：几元是指方程由几个坐标描述，u(x,y)? u(x,t)这都属于二元变量。

常粘度不可压缩流体的NS方程组

$\frac{\partial v}{\partial t} + (v\cdot \triangledown )v = f - \frac{1}{\rho} \bigtriangledown p + \mu \bigtriangledown ^2 v$ ?速度v是矢量

三个方程取其中第一个方程分析，v=g(x,y,z,t)
$\frac{\partial v_x}{\partial t} + v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_x}{\partial y} + v_z \frac{\partial v_x}{\partial z} = f_x - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \mu (\frac{\partial ^2 v_x}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 v_x}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 v_x}{\partial z^2})$

如果v=g(x)，一维稳态
$v v_x = f - \frac{1}{\rho}p_x + \mu v_{xx}$
（ v v_x ?是一个非线性项说明这个方程是一个非线性方程）
这是一个抛物线方程

如果v=g(x,t)，一维非稳态
$v_t + v v_x = f - \frac{1}{\rho}p_x + \mu v_{xx}$
这是一个抛物线方程

如果v=g(x,y)，二维稳态
$v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_x}{\partial y}= f_x - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \mu (\frac{\partial ^2 v_x}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 v_x}{\partial y^2})$
这是一个椭圆方程

由此看出方程类型在不同问题中会变化，比如平面稳态问题，空间稳态问题等。

热传导方程

$\frac{\partial T}{\partial t} = k(\frac{\partial ^2T}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2T}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2T}{\partial z^2})$ 温度T是标量

一维非稳态?T=g(x,t)
这是一个抛物线方程

梁方程

描述挠度与载荷的关系，动挠度与动载荷的关系。小挠度、大挠度梁理论。

欧拉伯努利梁方程

挠度与载荷间的关系 w=g(x)
$\frac{d ^2 (EI \frac{d ^2 w}{d x^2})}{d x^2} = q$ ?

动挠度与载荷的关系 w=g(x,t)
$\frac{\partial ^2 (EI \frac{\partial ^2 w}{\partial x^2})}{\partial x^2}= - \mu \frac{\partial ^2 w}{\partial t^2} + q$

铁木辛柯梁方程

挠度与载荷的关系

动挠度与动载荷的关系?

欧拉伯努利梁方程的类型

$\frac{\partial ^2 (EI \frac{\partial ^2 w}{\partial x^2})}{\partial x^2}= - \mu \frac{\partial ^2 w}{\partial t^2} + q$
如果EI为常数可写作
$EI\frac{\partial ^2 (\frac{\partial ^2 w}{\partial x^2})}{\partial x^2}= - \mu \frac{\partial ^2 w}{\partial t^2} + q$
令 $u = \frac{\partial ^2 w}{\partial x^2}$
$EI u_{xx} = - \mu w_{tt} + q$
可以判断方程类型为椭圆型，但波动方程是双曲型，所以这里有个疑问？

波动方程

波：机械波、电磁波、引力波、物质波。机械波中有弹性波，梁板壳方程属于弹性波动方程，即梁方程是波动方程的一个特例，这就好比ns方程是对流扩散方程的一个特例。

$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 (\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial z^2})$
弦振动 u=g(x)? 薄膜振动 u=g(x,y,t)? 声振动 u=g(x,y,z,t)