隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）是可用于标注问题的统计学习模型，描述由隐藏的马尔可夫链随机生成观测序列的过程，属于生成模型。HMM在语音识别、自然语言处理、生物信息、模式识别等领域都有着广泛的应用。

一、 HMM模型的定义

????HMM模型是关于时序的概率模型，描述由一个隐藏的马尔可夫链随机生成不可观测的状态随机序列，再由各个状态生成一个观测而产生观测随机序列的过程。隐藏的马尔可夫链随机生成的状态的序列称为状态序列(state sequence)；每个状态生成一个观测，再由此产生的观测的随机序列，称为观测序列(observation sequence。序列的每一个位置可以看作是一个时刻。

????HMM模型由初始概率分布、状态转移概率分布、观测概率分布确定。设$Q$是所有可能的状态的集合，$V$是所有可能的观测的集合，即：

$Q=\left\{q_{1}, q_{2}, \cdots, q_{N}\right\}, \quad V=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{M}\right\}$

　　其中，$N$是可能的状态数，$M$是可能的观测数。记$I$是长度为$T$的状态序列，$O$是对应的观测序列，即：

$I=\left(i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{T}\right), \quad O=\left(o_{1}, o_{2}, \cdots, o_{T}\right)$

　　记$A$为状态转移概率矩阵：

$A=\left[a_{i j}\right]_{N \times N}$

　　其中，$a_{i j}=P\left(i_{t+1}=q_{j} | i_{t}=q_{i}\right), \quad i=1,2, \cdots, N ; j=1,2, \cdots, N$，即在时刻$t$处于状态?$q_{i}$的条件下在时刻$t+1$转移到状态?$q_{j}$的概率。

????记$B$观测概率矩阵：

$B=\left[b_{j}(k)\right]_{N \times \mu}$

　　其中，$b_{j}(k)=P\left(o_{t}=v_{k} | i_{t}=q_{j}\right), \quad k=1,2, \cdots, M ; j=1,2, \cdots, N$,$N$是在时刻$t$处于状态$q_{j}$的条件下生成观测$v_{k}$的概率。

????记$\pi $为初始状态概率向量：

$\pi=\left(\pi_{i}\right)$

　　其中，$\pi_{i}=P\left(i_{1}=q_{i}\right), \quad i=1,2, \cdots, N$，表示时刻$t=1$处于状态$q_{i}$的概率。

????因此，HMM模型$\lambda$可以用三元符号表示，即：

$\lambda=(A, B, \pi)$

　　$A, B, \pi$称为HMM模型的三要素。

 　　举例说明

　　假设有4个盒子，每个盒子都有红白两种颜色的球，球的数量如下:

　　盒子        1        2        3        4
　　红球数      5        3        6        8
　　白球数      5        7        4        2

　　按下面的方法抽取球:
　　开始时，从4个盒子中等概率地抽取一个，再从盒子中随机抽一个球，记录颜色后放回。然后从当前盒子转移到下一个盒子，如果当前为盒子1，下一个盒子一定是2；如果当前为盒子2或3，以概率0.4和0.6转移到左边或右边的盒子；如果当前为盒子4，各以0.5概率停留在盒子4或转移到盒子3。转移后，再从盒子中随机抽一个球，记录颜色后放回。
　　现在假设我们要连续地抽5次。抽取结果如下:

$O$=( 红 , 红 , 白 , 白 , 红 )

　　这个例子中有两个随机序列:
　　盒子序列（状态序列）和球颜色序列（观测序列）。前者是隐藏的，后者是可观测的。
　　则状态集合$Q$和观测集合$V$为:

$Q$=(盒子1,盒子2,盒子3,盒子4), 　　$V$=(红,白)

　　状态序列和观测序列长度T=5。
　　开始时，从4个盒子中等概率地抽取一个，则初始概率分布$\pi $为:

$\pi=(0.25,0.25,0.25,0.25)^{\mathrm{T}}$