最近微信朋友圈和抖音上暴出一道几何题，上周五半夜很晚了，老板发给我，问我一分钟以内能不能解得出，我当时在洗澡，回来看到这个题时已经过了二十分钟了。所以我失败了。

原题就一张图：

说实话，我一分钟真的解不出。虽然我知道怎么算，但要计算弓形面积，得不断通过辅助线的方式用圆面积公式，勾股定理这种简单数学去逐步组合求解，涉及到大量的四则混合运算，开方，反三角函数查表计算等等，这对于我而言，从小学开始就不擅长。

先不管这是不是真的小学六年级的题，仅从题目本身来看，挺好玩的。说说我的思路吧。

这其实是一个组合几何问题，小学生能理解的方法就是 用一些已知的或者容易计算的图形面积或者它们的面积之和，减去另外一些这样的图形的面积或者它们的面积之和，我是这么算的：

?
??

? ?

??? ?

? ??
首先求的角度∠AOB \angle AOB∠AOB，这个可以用反三角来解。设∠AOB=θ \angle AOB=\theta∠AOB=θ，我们知道sin(θ2)=d2r \sin (\dfrac{\theta}{2})=\dfrac{\frac{d}{2}}{r}sin(?
2
θ
??? ?
?)=?
r
2
d
??? ?
?
??? ?
?，那么：
θ=2×arcsin(d2r) \theta=2\times \arcsin(\dfrac{d}{2r})θ=2×arcsin(?
2r
d
??? ?
?)

于是扇形面积AOB AOBAOB的面积就出来了：
S扇AOB=θ360×πr2 S_{扇_{AOB}}=\dfrac{\theta}{360}\times\pi r^2S?
扇?
AOB
??? ?
?
??? ?
?=?
360
θ
??? ?
?×πr?
2
?

扇形面积S扇AOB S_{扇_{AOB}}S?
扇?
AOB
??? ?
?
??? ?
?减去三角形面积S△AOB S_{\triangle_{AOB}}S?
△?
AOB
??? ?
?
??? ?
?就是弓形面积了。

完美解决。

但这虽然是小学生能理解的，但好像小学没有学过反三角函数，反正我当时没有学过，不过无所谓，多记忆几个公式和套路而已。

但是这件事并没有结束。我在想，如果找一个三岁的孩子，或者穿越到几万年以前找一个野人，不引入“面积”的概念，只问他们 “阴影部分有多大？” 我在思考他们会怎么回答。要知道，他们可不懂什么三角形面积公式，圆面积公式，更不知道π \piπ，三角函数的存在…

我的意思是说，返璞归真地解这个题，应该怎么解。

我试着忘掉一些被灌输的知识，把自己想象成三岁的孩子，或者一个不掌握任何知识只会使用劳力工具的野人，或者说，我让疯子把这个问题问问小学二年级的小小：

在等她作答的同时，我先来自己算一下。

我有一种办法：

假设我已知了那个外围长方形的大小，求阴影部分大小时，我会拿一张有重量的纸或者泥巴，割成和长方形一样大小的形状，然后将纸张或者泥巴其割成非常小的方块，将这些小方块拼在阴影部分，直到恰好覆盖掉它，如果边缘有毛刺，我会将小方块剪的更小，或者剪成三角形什么的。
拼接覆盖完成后，拿这部分小块来称重，和原来整体的重量一比，这个比例和面积的比例是一致的。
哈哈，没有用任何公式，就用了个比例，除法。简而言之， 求面积的本质操作就是一块一块地数数。如果你抬杠说什么野人不会除法，野人没有称重的概念，我这里之前写过一篇文章，畅想了一下：
原始人的除法引发的闲聊 ：https://blog.csdn.net/dog250/article/details/16905147
我想表达的仅仅是，通过这种蛮力式的求解方式，野人从这些简单的 step by step，简单的 Howto 中总结经验和规律，一步一步地走向了文明！

人们逐渐发现了像正方形，长方形，三角形这种图形是非常规则的，于是便归纳总结除了它们的计算面积的公式，作为工具箱里的新工具，以便日后重用，类似的，再往后几千年，人们发现了π \piπ。

在文明进化的道路上，人们不再通过 数数 来算面积，而是通过 组合简单规则图形的方式，用“现成的公式” 来计算面积。我上面最开始列出的 标准解法 就是这种方式，即 几个简单图形面积相加再减另外几个简单图形面积， 这种方法成型于 公元前300年， 人类文明的小学阶段。

…

现如今，人类文明可能还没有进入大学阶段，但我个人却是经历了大学阶段，我的工具箱里应该有比 组合几何 更加 先进 的工具才对。

是的，微积分！

其实很简单，用积分求面积啊！圆的曲线方程非常简单，我们只需要取一个区间即可：

看样子只需要求出SABE S_{ABE}S?
ABE
??? ?
?就好了，这很简单，很容易可以拿到曲线AE AEAE的解析表达式。

首先看圆的表达式：

y=16?(x?4)2???????????√+4 y=\sqrt {16-(x-4)^2}+4y=?
16?(x?4)?
2
?
??? ?
?+4

然后很容易给出其在区间[ax,4] [a_x,4][a?
x
??? ?
?,4]上的定积分表达式：

SABE=∫4ax(16?(x?4)2???????????√+4)dx S_{ABE}=\displaystyle \int_{a_x}^{4} (\sqrt {16-(x-4)^2}+4)dxS?
ABE
??? ?
?=∫?
a?
x
??? ?
?
4
??? ?
?(?
16?(x?4)?
2
?
??? ?
?+4)dx

所以，最终的答案就是：

S原题=ax×ay2+∫4ax(16?(x?4)2???????????√+4)dx S_{原题}=\dfrac{a_x\times a_y}{2}+\displaystyle \int_{a_x}^{4} (\sqrt {16-(x-4)^2}+4)dxS?
原题
??? ?
?=?
2
a?
x
??? ?
?×a?
y
??? ?
?
??? ?
?+∫?
a?
x
??? ?
?
4
??? ?
?(?
16?(x?4)?
2
?
??? ?
?+4)dx

对了，A(ax,ay) A(a_x,a_y)A(a?
x
??? ?
?,a?
y
??? ?
?)坐标怎么求就不说了吧…
y=16?(x?4)2???????????√+4=x2 y=\sqrt {16-(x-4)^2}+4=\dfrac{x}{2}y=?
16?(x?4)?
2
?
??? ?
?+4=?
2
x
??? ?
?
解方程吧。

和使用规则图形面积组合求解相比，使用定积分的方式显然更加简单，但是要知道这无非也就是另一个工具罢了，和组合几何图形面积的方法没有本质的区别。

重要的是，我们来反思一下这些工具是怎么得到的。笼统一点说来自于人们的两个能力：

对经验的总结和自省能力；
抽象的逻辑推理能力；
中国人可能对前者掌握的强一些，所以出现了很多工程上的创举或者说Trick，比如用一些非常巧妙的机关来算计很难的问题，比如算π \piπ。相反，西方地中海文化圈可能更偏向于逻辑推理和抽象能力，所以出现了我们现在使用的微积分等现代数学。不管怎样，这些都是人类特有的，至少在当前阶段，基于AI的计算机是不可能掌握的。

那么除了上面介绍的两种方法，我们的计算机会怎么做这个题呢？

千万不要把公式输入进去然后让计算机迅速出答案就以为这是计算机的方法，其实公式是你告诉它的。

不需要公式的话，看看计算机如何利用自己的优势去解题。

说白了，计算机的方法就是我们原始野人祖先们使用的方法，如果计算机没有逻辑推理和归纳总结自省的能力，它将永远采用这种方式。它会具体怎么操作呢？

很简单，就是一个像素一个像素去数数。

假设长方形一共有X XX个像素，那么计算机将采用下面的策略：
for 长方形范围内的每一个像素p:
?? ?if p 属于 $阴影部分 ? # 可以基于像素的三原色来判断
?? ??? ?count ++
?? ?endif
endfor
1
2
3
4
5
最后，计算count和X XX的比例就好了。
是不是很笨，是的，很笨，但是它很快啊！计算机的优势不就在于此吗？再说了，你想让它聪明它也不行啊，如果它自己能总结出πr2 \pi r^2πr?
2
?是圆的面积，那还得了啊！

计算机在不断地进行二元判断，傻傻地回答 “计入” 还是 “不计入” ，最后遍历一遍后，数总数。当然，你可以用各种所谓的时间复杂度更低的优化算法，但万变不离其宗。

挺有趣的一道题，就记录到这里吧，下着雨很恰意，今天很冷了，我还是短袖裤衩，总是有人不断给我问候，看来明天要穿长裤了。
?

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