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    leslie lee的博客（python ansys）：神经网络求解PDE

    作者：[db:作者] 时间：2021-06-25 09:19

    原理

    https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_approximation_theorem
    https://www.youtube.com/watch?v=LQ33-GeD-4Y
    https://arxiv.org/abs/1711.10561
    https://arxiv.org/abs/physics/9705023

    问题：u_{xx} + au_x = b, BC: u(0)=u_0,u(1)=u_1

    Universal approximation theorem：浅层前馈神经网络在隐藏层神经元数量足够多时，能够逼近任何一个连续函数

    有约束的最优化问题：min[(\widehat{u}_{xx} + a\widehat{u}_x -b)^2+ (\widehat{u}(0) - u_0)^2 + (\widehat{u}(1) - u_1)^2]

    用只有一层隐藏层的全连接神经网络求解问题，\widehat{u} = ANN(x)，神经网络输入为x，输出为\widehat{u}。
    隐藏层与输出层：a_1 = f (w_1x), \widehat{u}=w_2a_1=w_2f (w_1x)
    输出层求导：\widehat{u}_x = w_2f'(w_1x), \widehat{u}_{xx} = w_2f''(w_1x)

    将其带入有约束的最优化问题：
    min[(w_2f''(w_1x) + aw_2f'(w_1x) -b)^2+ (w_2f(0) - u_0)^2 + (w_2f(1) - u_1)^2]

    训练集：数值解法求解问题获取训练集

    用训练集训练神经网络，求解出权重，最终使得[(w_2f''(w_1x) + aw_2f'(w_1x) -b)^2+ (w_2f(0) - u_0)^2 + (w_2f(1) - u_1)^2]\rightarrow 0


    注：surrogate model代理模型

    neurodiffeq 0.3.5

    https://en.wikipedia.org/wiki/Lotka–Volterra_equations
    https://pypi.org/project/neurodiffeq/
    https://neurodiffeq.readthedocs.io/en/latest/

    安装

    anaconda下新建一个坏境

    pip install torch
pip install neurodiffeq

# pip install -U neurodiffeq  更新到最新版本

    基于PyTorch用神经网络求解微分方程

    example

    Lotka–Volterra equations，也称predator–prey equations
    \frac{dx}{dt}=\alpha x-\beta xy, \frac{dy}{dt}=\delta xy -\gamma y
    取参数为1
    \frac{dx}{dt}= x-xy, \frac{dy}{dt}=xy -y
    猎物x的初值为1.5，捕食者y的初值为1

    from neurodiffeq import diff
from neurodiffeq.solvers import Solver1D
from neurodiffeq.conditions import IVP
from neurodiffeq.networks import FCNN, SinActv
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义ODE
def ode_system(u, v, t): 
    return [diff(u,t)-(u-u*v), diff(v,t)-(u*v-v)]

# 定义初始条件 
conditions = [IVP(t_0=0.0, u_0=1.5), IVP(t_0=0.0, u_0=1.0)]

# 定义ANN，FCNN为全连接ANN
# 输入层神经元默认为1，输出层神经元默认为1，激活函数sin，隐藏层默认为(32,32)
# 定义两个全连接神经网络，一个神经网络输入为t输出为u，一个输入为t输出为v
nets = [FCNN(actv=SinActv), FCNN(actv=SinActv)]

# 定义求解器，训练数据t位于[0.1,12.0]
solver = Solver1D(ode_system, conditions, t_min=0.1, t_max=12.0, nets=nets)

# 训练 
solver.fit(max_epochs=3000)

# 训练完成后查看任意点的值，给定t=np.arange(0.1,20,0.2)用训练好的ANN求解出对应的u与v
solution = solver.get_solution()
test_t = np.arange(0.1,20,0.2).tolist()
value_at_points = solution(test_t)
test_u,test_v = value_at_points[0].tolist(), value_at_points[1].tolist()

# u = solution(x, y, to_numpy=True) 

# 绘图
plt.plot(test_t,test_u,label='prey')
plt.plot(test_t,test_v,label='predator')
plt.legend()


    没有其余方法来对照，但可以大概看出在训练范围内t \in [0.1,12]，求出来的值是对的，超出以后就误差很大了。
    原理：已知问题（ODE与初值条件），用数值求解得出训练数据，用训练数据训练ANN，带入新的自变量进行训练好的ANN求解出值

    neurodiffeq模块介绍

    neurodiffeq.neurodiffeq：求导
neurodiffeq.networks：神经网络
neurodiffeq.conditions：初始条件与边界条件
neurodiffeq.solvers：求解
neurodiffeq.monitors：在训练过程中监测
neurodiffeq.ode
neurodiffeq.pde
neurodiffeq.pde_spherical
neurodiffeq.temporal
neurodiffeq.function_basis
neurodiffeq.generators
neurodiffeq.operators
neurodiffeq.callbacks
neurodiffeq.utils

    原理

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