回顾Games101 chapter 1 - 6

前言

本文只写回顾后重新加深认识的知识

透视除法的意义

经过MVP矩阵之后，将模型空间下某点的坐标，转换成了裁剪空间下的坐标，此时因为裁剪空间的范围是x∈[-W/2，W/2]和y∈[-H/2，H/2]，所以经过以下两个变换，其中除以pz就是透视除法
一：

二：

只有当W=1，这个三维坐标转换是等价的，才能保证位移的量是正确的，W=0时，则没有位移

只有当W=1时，三维坐标点转换成四维齐次坐标点才是等价的

坐标系变换和矩阵推导

坐标系变换理解不直观，倾向于101中闫老师所说的理解坐标系的转换通过矩阵进行的线性变换，将A坐标系下的点P，乘上矩阵得出B坐标系下的点P'，以下是抛开常见的变换（如透视投影变换、正交投影变换等）如何得出变换矩阵M，通过矩阵变换（下文着重说明）

已知坐标系A和坐标系B

则将坐标系B中一点P从坐标系B变换到坐标系A的变换矩阵为：（注意此处的例子是将源坐标系A变换到目标坐标系B下）

如之前所说，变换过程中点p在空间中的绝对位置没有发生改变，只是参考坐标系发生了改变，从B坐标系变到A坐标系。（缩放，旋转，平移变换只有在同一坐标系下才有意义）

矩阵变换是基于基向量组的结果

• 矩阵变换之于同一个坐标系，可以理解为坐标系不变，点的位置改变
• 矩阵变换之于不同坐标系，可以理解为点的绝对位置不变，坐标系改变

其中，矩阵B的各个列向量分别对应B坐标系的各个基向量，\( \left[ \begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right] \)是向量\( \overrightarrow{OP} \)或者说点P在B坐标系的表示，\( \left[ \begin{array}{c} x^{'}\\ y^{'}\\ \end{array} \right] \)则是向量\( \overrightarrow{OP} \)或者点P在A坐标系中的表示

以图中的两个向量\( \overrightarrow{b_1} \)，\( \overrightarrow{b_2} \)为基确定一个坐标系B，显然在B坐标系中\( \overrightarrow{b_{1B}}=\left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ \end{array} \right] \)，\( \overrightarrow{b_{2B}}=\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ \end{array} \right] \)，接下来，将\( \overrightarrow{b_1} \)，\( \overrightarrow{b_2} \)定位到A坐标系中，得到\( \overrightarrow{b_{1A}}=\left[ \begin{array}{c} 2\\ 1\\ \end{array} \right] \)，\( \overrightarrow{b_{2A}}=\left[ \begin{array}{c} -1\\ 1\\ \end{array} \right] \)

\( \because \overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{b_1}+2\overrightarrow{b_2} \)

\( \therefore \overrightarrow{OP}\)在B坐标系中的表示为\( \left[ \begin{array}{c} 2\\ 2\\ \end{array} \right] \)，现在，将\( \overrightarrow{OP} \)用A坐标系描叙：
\( \overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{b_1}+2\overrightarrow{b_2}=2\overrightarrow{b_{1A}}+2\overrightarrow{b_{2A}}=\left[ \begin{matrix} \overrightarrow{b_{1A}}& \overrightarrow{b_{2A}}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} 2\\ 2\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 2\\ 4\\ \end{array} \right] \\ \)
现在，令矩阵B=\( \left[ \begin{matrix} \overrightarrow{b_{1A}}& \overrightarrow{b_{2A}}\\ \end{matrix} \right] \)，P点是用B坐标系表示的任意一点\((x,y)\)。
于是\( \overrightarrow{OP} \)在A坐标系中的表示\( \left[ \begin{array}{c} ^{x^{'}}\\ y^{'}\\ \end{array} \right] =B\left[ \begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right] \)，显然，B是可逆的，于是就有了之前的结论
那么在这个例子当中，当我们需要知道某点在转换坐标系后的新坐标时，通过该例子也可以加深印象，比如在B坐标系下有点\(Q(3,4)\)，即\(\overrightarrow{OQ}=(3,4)\)，跟据刚才的例子可以看出它转换在A坐标系下的点

即转换到A坐标系下的点\(Q^{'}\)的坐标为\(Q^{'}(6,9)\)

虽然这里的讨论是基于二维的，但是，结论可以扩展到任意维度

阐述结论：

将B坐标系的基向量定位到A坐标系，然后将定位之后的基向量作为矩阵B的列向量，用矩阵B对B坐标系中的点P的坐标进行矩阵变换，将得到点P在A坐标系中的坐标。这个过程，就是从坐标系B到坐标系A的一个追溯过程

View/Camera Transformation

先将相机移到原点，然后进行分别对坐标轴进行旋转，用矩阵表示则是\(M_{view}=R_{view}T_{view}\)

• 将相机移回原点

• \(Rotate\,\,g\,\,to\,\,-Z, t\,\,to\,\,Y, \left( g×t \right) \,\,To\,\,X\)
  g是相机看的方向（lookAt），t是相机向上的方向（Up），也就是相机的-Z轴和Y轴，两个向量叉积就是另一个坐标轴

旋转矩阵是正交矩阵，所以旋转矩阵的逆就是旋转矩阵的转置

正交投影矩阵

无论是正交投影还是透视投影，都是要将x、y、z移到-1到1的范围内，先将中心点移到原点，然后缩放

透视投影矩阵推导

首先先将frustum 转变为cuboid（n -> n,f -> f）(\( M_{persp->ortho} \)
)
然后再做正交投影

整个投影变换包括两部分

• v = P（矩阵）*p
• \(v=\frac{v}{v_w}=\frac{v}{pz}\)透视除法

以上大概推出等式这一步，接下来用公式展示更为直观

将右边的四维列向量表示的坐标每一项乘以z，所以有

所以求得矩阵为

因为z=zNear时，z''=-1；z=zFar时，z''=1所以有以下等式

联立求得：

最后求得投影矩阵为

将这样得矩阵乘以视锥体内的一个顶点坐标，得到一个新的向量，再将这个向量的每个分量除以第四个分量（此步骤也被称为透视除法）（w），这样就可以得到顶点映射到规则立方观察体后的新的坐标

注意：z坐标的映射方式的获得，最后我们是为了方便矩阵乘法的操作方向求得了z坐标与cvv中的z坐标的映射方式：

此时的映射并不是线性的，当z越大时，z的变化对z''的扰动越小

Canonical Cube to Screen

• Irrelevant to z
• Transform in xy plane : [-1, 1] to [0, width] × [0, height]
• Viewport transform matrix:

视口矩阵

深度z的计算

前言
3D光栅化发生在图元被变换到Screen space之后，因为这里的Screen space与2D的Screen Space完全一致，所以2D的光栅化算法在这里依然适用。

然而由于图元经过了投影变换，且投影变换为非线性变换，所以不能用简单的线性插值获取fragment的属性

为了执行z-buffer算法，需要通过点q获取到v的深度值(z)
点\(v\)的深度值可以通过如下方法插值得到：

以下是推导的过程：

手写版：

文字版：
由于点\(q\)为点\(v\)在near plane上的投影，因此点\(q\)与点\(v\)的关系为：

• \(q_x=\frac{v_x·near}{v_z}\)
  且\(v\)位于\(p0p1\)之间，则
• \(v_z=p0_{z}+t·(p1_z-p0_z)=\frac{v_x·near}{q_x}\)
  由点\(v\)在\(p0\)，\(p1\)之间，点\(q\)在\(s0\)，\(s1\)之间则有
• \(v_x=p0_{x}·(1-t)+p1_{x}·t=p0_{x}+t·(p1_{x}-p0_{x})\)
• \(q_x=s0_{x}·(1-c)+s1_{x}·c=s0_{x}+c·(s1_{x}-s0_{x})\)
  代入式(1)可得
  \(v_z=\frac{v_x·near}{q_x}=\frac{(p0_x+t·(p1_x-p0_x))·near}{s0_x+c·(s1_x-s0_x)}\)式(2)
  又s0和s1分别为p0和p1在near plane上的投影，则：
• \(s0_x=\frac{p0_x·near}{p1_z}\)
• \(s1_x=\frac{p1_x·near}{p1_z}\)
  代入式(2)可得：

化简得：

则：

代入式(1)可得

若View Space中三角形\(v0v1v2\)，变换到Screen Space后为三角形\(s0s1s2\)，\(v0v1v2\)内一点v在Screen Space的投影点\(s0s1s2\)内的点\(q\)，对三角形\(s0s1s2\)内的点（fragment）\(q\)，可以通过如下方法取得fragment\(q\)在View Space中对应的深度值：

\(\lambda0,\lambda1,\lambda2\)为点p在三角形\(s0s1s2\)内的重心坐标
引入结论：
对Screen Space三角形\(s0,s1,s2\)内一点\(p\)的任意属性插值的公式为:

\(\lambda0,\lambda1,\lambda2\)为点\(p\)的重心坐标，\(z0,z1,z2,z\)分别为\(s0,s1,s2,p\)在view space中对应点的深度值，可以用这个方法插值得到\(p\)在NDC Space内对应点的深度值
此处贴一下Games101作业框架中关于深度的计算，与上述公式对应\(z = z_interpolated*w_reciprocal\)

    auto[alpha, beta, gamma] = computeBarycentric2D(x, y, t.v);
    float w_reciprocal = 1.0 / (alpha / v[0].w() + beta / v[1].w() + gamma / v[2].w());
    float z_interpolated =
    alpha * v[0].z() / v[0].w() + beta * v[1].z() / v[1].w() + gamma * v[2].z() / v[2].w();
    z_interpolated *= w_reciprocal;

    if (depth_buf[get_index(x, y)] > z_interpolated) {
        depth_buf[get_index(x, y)] = z_interpolated;
        Eigen::Vector3f point;
        point << static_cast<float>(x), static_cast<float>(y), z_interpolated;
        set_pixel(point, t.getColor());
    }