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    IT成长记:一文带你明白时间复杂度

    作者:[db:作者] 时间:2021-06-06 14:26

    一、排序算法

    排序也称排序算法(Sort Algorithm),排序是将一组数据,依指定的顺序进行排列的过程。

    排序算法分类:

    1.内部排序

    指将需要处理的所有数据都加载到**内部存储器(内存)**中进行排序

    2.外部排序

    当数据量过大时,无法全部加载到内存中,需要借助**外部存储(文件等)**进行排序

    3.常见的排序算法分类

    在这里插入图片描述

    二、时间复杂度

    (一)度量一个程序(算法)执行时间的方法

    1. 事后统计法:
    顾名思义,执行完整个程序(算法)之后统计运行时间,这种方法需要依赖计算机的硬件和软件环境等因素,要求同一台计算机在相同状态下运行进行比较。不太可取。
    2. 事前估计法:
    通过分析某个算法的时间复杂度来判断那个算法更优。

    (二)时间频度

    1.时间频度:一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比,那个算法中语句执行次数多,它花费时间就多,一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度,记为T(n)。
    比如同样计算1-n所有数字之和:

    int total = 0;
    int n= 100;
    for(int i=1; i<=n; i++){
    	total += i;
    }
    

    利用for循环的时间频度:T(n) = n+1 (因为最后要执行依次判断,故+1)
    而下面这种计算方法:

    total = (1+n)*n/2
    

    这种计算方法的时间频度为:T(n) = 1
    说明:
    1). 忽略常数项:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    结论:

    1. 2n+20 和 2n 随着n 变大,执行曲线无限接近, 20可以忽略
    2. 3n+10 和 3n 随着n 变大,执行曲线无限接近, 10可以忽略

    2). 忽略低次项:

    在这里插入图片描述
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    结论:

    1. 2n^2+3n+10 和 2n^2 随着n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
    2. n^2+5n+20 和 n^2 随着n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20

    3). 忽略系数:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    结论:

    1. 随着n值变大,5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ,执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5和3可以忽略。
    2. 而n^3+5n 和 6n^3+4n ,执行曲线分离,说明多少次方式关键

    总:
    当n越大时:

    1. 常数项可以忽略
    2. 低次项可以忽略
    3. 系数可以忽略

    介绍完时间频度之后就进入主题:时间复杂度

    (三)时间复杂度

    1.时间复杂度

    1. 一般情况下,算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示(也就是时间频度),若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数记作 T(n)=O( f(n) ),称O( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。

    2. T(n) 不同,但时间复杂度可能相同。 如:T(n)=n2+7n+6 与 T(n)=3n2+2n+2 它们的T(n) 不同,但时间复杂度相同,都为O(n2)。

    3. 计算时间复杂度的方法:

      1. 常数1代替运行时间中的所有加法常数: T(n)=3n2+2n+2 => T(n)=n2+2n+1
      2. 修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项 : T(n)=3n2+2n+1 => T(n) = 3n2
      3. 去除最高阶项的系数: T(n) =3n2 => T(n) = n2 => O(n2)

    2.常见的时间复杂度:

    在这里插入图片描述

    • 常数阶O(1)
    • 对数阶O(log2n)
    • 线性阶O(n)
    • 线性对数阶O(nlog2n)
    • 平方阶O(n^2)
    • 立方阶O(n^3)
    • k次方阶O(n^k)
    • 指数阶O(2^n)

    常见的算法时间复杂度由小到大依次为:Ο(1)<Ο(log2n)<Ο(n)<Ο(nlog2n)<Ο(n2)<Ο(n3)< Ο(nk) <Ο(2n) ,随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低。我们需要尽可能避免使用到指数阶算法。

    1. 常数阶O(1)

    无论代码执行了多少行,只要是没有循环等复杂结构,那这个代码的时间复杂度就都是O(1)

    int i = 1;
    int j = 2;
    i = i + 1;
    int a = i + j;
    

    上述代码在执行的时候,它消耗的时间并不随着某个变量的增长而增长,那么无论这类代码有多长,即使有几万几十万行,都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

    2. 对数阶O(log2n)

    int i = 1;
    while(i < n){
    i = i * 2;
    }
    

    在while循环里面,每次都将 i 乘以 2,乘完之后,i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后,i 就大于 2 了,此时这个循环就退出了,也就是说 2 的 x 次方等于 n,那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后,这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为:O(log2n) 。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的,当 i = i * 3 ,则是 O(log3n) .

    3. 线性阶O(n)

    for(int i = 1; i <= n; ++i){
    	j= i ;
    	j++;
    }
    

    for循环里面的代码会执行n遍,因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的,因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度

    4. 线性对数阶O(nlog2n)

    for (m=1; m<n; m++){
        i = 1;
        while (i<n){
        i = i *2;
        }
    }
    

    线性对数阶O(nlog2N) 其实非常容易理解,将时间复杂度为O(log2n)的代码循环N遍的话,那么它的时间复杂度就是 n * O(log2N),也就是了O(nlog2N)

    5. 平方阶O(n^2)

    for (x=1; i <=n; x++){
       for (i=1; i<=n; i++){
           j = i;
           j++;
       }
    }
    

    如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍,它的时间复杂度就是 O(n2),这段代码其实就是嵌套了2层n循环,它的时间复杂度就是 O(nxn),即 O(n2) 如果将其中一层循环的n改成m,那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)

    6. 立方阶O(n^3)
    立方阶就相当于在平方阶的基础上再添一层for循环
    7. k次方阶O(n^k)
    k次方阶就相当于在有k层for循环
    8. 指数阶O(2^n)

    public int aFunc(int n) {    
       if (n <= 1) {        
           return 1;
       } else {        
           return aFunc(n - 1) + aFunc(n - 2);
       }
    }
    

    显然运行次数,T(0) = T(1) = 1,同时 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1,这里的 1 是其中的加法算一次执行。显然 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) 是一个斐波那契数列,通过归纳证明法可以证明,当 n >= 1 时 T(n) < (5/3)^n,同时当 n > 4 时 T(n) >= (3/2)^n。所以该方法的时间复杂度可以表示为 O((5/3)^n),简化后为 O(2^n)。

    三、最坏时间负责度

    平均时间复杂度: 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下,该算法的运行时间。
    最坏时间复杂度: 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是:最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限,这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长
    平均时间复杂度与最坏时间复杂度:
    在这里插入图片描述

    四、空间复杂度

    一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间,它也是问题规模n的函数。

    空间复杂度(Space Complexity):是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关,它随着n的增大而增大,当n较大时,将占用较多的存储单元,例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况.

    在做算法分析时,主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看,更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.
    随机硬件产品的价格越来越低,算法优化越来越趋向以空间换时间。