江景景景页：数理统计5：指数分布的参数估计，Gamma分布，Gamma

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江景景景页：数理统计5：指数分布的参数估计，Gamma分布，Gamma

作者：江景景景页时间：2021-02-02 20:24

今天的主角是指数分布，由此导出$\Gamma$分布，同样，读者应尝试一边阅读，一边独立推导出本文的结论。由于本系列为我独自完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！

Part 1：指数分布的参数估计
Part 2：独立同分布指数分布之和与$\Gamma$分布
Part 3：$\Gamma$分布与其他分布

Part 1：指数分布的参数估计

指数分布是单参数分布族，总体$X\sim E(\lambda)$有时也记作$\mathrm{Exp}(\lambda)$，此时的总体密度函数为

\[f(x)=\lambda e^{-\lambda x}I_{x>0}. \]

现寻找其充分统计量，样本联合密度函数为

\[\begin{aligned} f(\boldsymbol{x})&=\lambda^n\exp\left\{-\lambda\sum_{j=1}^n x_j \right\}I_{x_1>0}\cdots I_{x_n>0}\\ &=\lambda^ne^{-n\lambda \bar x}I_{x_{(1)}>0}, \end{aligned} \]

由因子分解定理，取

\[g(\bar x,\lambda)=\lambda^ne^{-n\lambda \bar x},\quad h(\boldsymbol{x})=I_{x_{(1)}>0}, \]

可以得到$\bar X$是$\lambda$的充分统计量。但是指数分布的参数并非均值，而是均值的倒数，所以对$\bar X$也有

\[\mathbb{E}(\bar X)=\mathbb{E}(X)=\frac{1}{\lambda}. \]

注意，千万不要想当然地认为期望和一般的函数之间是可交换的，即一般来说$\mathbb{E}[f(X)]\ne f[\mathbb{E}(X)]$，所以你不能认为$\bar X^{-1}$就是$\lambda$的无偏估计量。

每到此时，我就想举对数正态分布的例子：$X\sim N(0,\sigma^2)$，求$e^{X}$的期望。显然有

\[\begin{aligned} \mathbb{E}(e^{X})&=\int_{-\infty}^\infty e^x\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2} \right\}\mathrm{d}x\\ &=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{x^2-2\sigma^2x}{2\sigma^2} \right\}\mathrm{d}x\\ &=e^{-\frac{\sigma^2}{2}}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{(x-\sigma^2)^2}{2\sigma^2} \right\}\mathrm{d}x\\ &=e^{-\frac{\sigma^2}{2}}. \end{aligned} \]
最后一个等号处，积分是$N(\sigma^2,\sigma^2)$的密度函数全积分为1。这说明

\[\mathbb{E}(e^{X})=e^{-\frac{\sigma^2}{2}}\ne 1=e^{\mathbb{E}(X)}. \]
~~同样，也能告诉我们股票的波动率越大，期望收益也越大~~。

但是，用$\bar X^{-1}$总是有一定道理的，至少在量级上保持了跟待估参数的一致性。如果我们要进行无偏调整，则需要求出$\bar X$的具体密度。不妨设$T=\sum_{j=1}^n X_j$，则$T=n\bar X$，如果我们能求出$T$的分布，也一样能得出$\bar X^{-1}$的期望。

Part 2：独立同分布指数分布之和与$\Gamma$分布

为求$T$的分布，引入一个Jacobi行列式为1的线性变换：

\[\left\{\begin{array}l Y_{1} = X_{1}, \\ Y_{2}=X_{2},\\ \vdots \\ Y_{n-1}=X_{n-1}, \\ Y_{n}=X_{1}+\cdots+ X_{n}. \end{array}\right. \]

则$(Y_{1},\cdots,Y_{n})$的联合密度函数为

\[\begin{aligned} f_{Y}(\boldsymbol{y})&=f_X(y_{1},\cdots,y_{n-1},y_n-y_{n-1}-\cdots-y_1)\\ &=\lambda^n\exp\left\{-\lambda\left[\sum_{j=1}^{n-1}y_j+\left(y_n-\sum_{j=1}^{n-1}y_j \right) \right] \right\}I_{y_1>0}\cdots I_{y_{n-1}>0}I_{y_n>\sum_{j=1}^{n-1}y_j}\\ &=\lambda^n e^{-\lambda y_n}I_{y_1>0}\cdots I_{y_{n-1}>0}I_{y_n>\sum_{j=1}^{n-1}y_j}. \end{aligned} \]

接下来要依次对$y_1,\cdots,y_{n-1}$作积分，为方便计，记

\[\mathcal B_k=y_n-\sum_{j=k}^{n-1}y_j,\quad k=1,2,\cdots,n-1,\\ \mathcal B_{k+1}-\mathcal B_{k}=y_k. \]

现在，$y_1$的积分范围是$(0,y_n-y_{n-1}-\cdots-y_2)=(0,\mathcal B_2)$，即

\[f_{Y_2,\cdots,Y_n}(y_2,\cdots,y_n)=\lambda^ne^{-\lambda y_n}\mathcal B_2I_{y_2>0}\cdots I_{y_{n-1}>0}I_{\mathcal B_2>0}. \]

再对$y_2$积分，其积分范围是$(0,\mathcal B_3)$，即

\[\begin{aligned} &\quad f_{Y_3,\cdots,Y_n}(y_3,\cdots,y_n)\\ &=\lambda ^ne^{-\lambda y_n}\int_{0}^{\mathcal B_3}\mathcal B_2\mathrm{d}y_2\\ &=\lambda^ne^{-\lambda y_n}\int_0^{\mathcal B_3}(\mathcal B_3-y_2)\mathrm{d}y_2\\ &=\lambda^n e^{-\lambda y_n}\cdot\frac{\mathcal B_3^2}{2}I_{y_3>0}\cdots I_{y_{n-1}>0}I_{\mathcal B_3>0}. \end{aligned} \]

继续下去的步骤就很机械了，对$y_3$积分时积分范围是$(0,\mathcal B_4)$，所以

\[\begin{aligned} &\quad f_{Y_4,\cdots,Y_n}(y_4,\cdots,y_n)\\ &=\frac{1}{2}\lambda^n e^{-\lambda y_n}\int_0^{\mathcal B_4}[\mathcal B_4-y_3]^2\mathrm{d}y_3\\ &=\frac{1}{2}\lambda^n e^{-\lambda y_n}\int_0^{\mathcal B_4}[\mathcal B_4-y_3]^2\mathrm{d}(\mathcal B_4-y_3)\\ &=\frac{1}{2\cdot 3}\lambda^n e^{-\lambda y_n}\mathcal B_4^3I_{y_4>0}\cdots I_{y_{n-1}>0}I_{\mathcal B_4>0}. \end{aligned} \]

将这个过程一直进行下去，容易得到

\[f_{Y_{n-1},Y_n}(y_{n-1},y_n)=\frac{1}{(n-2)!}\lambda^ne^{-\lambda y_n}\mathcal B_{n-1}^{n-2}I_{y_{n-1}>0}I_{y_n>y_{n-1}}, \]

进行最后一次积分就能得到$T$的密度函数为

\[f_T(x)=\frac{1}{(n-1)!}\lambda^ne^{-\lambda x}x^{n-1}. \]

这里有一个稍微有点耍赖的技巧。如果你不想一个个积分，而又记住了指数分布和的密度函数形式，则可以用数学归纳法验证指数分布和的密度函数恰有如此的形式。

读者可以自行用数学归纳法计算一遍，这个计算量是比较小的。

同样，我们以后会经常跟这个密度函数打交道。因为阶乘只适用于整数，将其解析延拓到$\mathbb{R}^+$上有$(n-1)!=\Gamma(n)$，注意到其核为$e^{-\lambda x}x^{n-1}$，对于任意$n>0,\lambda >0$，有

\[\int_0^{\infty}e^{-\lambda x}x^{n-1}\mathrm{d}x=\int_0^{\infty}\frac{1}{\lambda^n}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n-1}\mathrm{d}(\lambda x)=\frac{\Gamma(n)}{\lambda ^n}, \]

所以其正则化因子为$\frac{\lambda^n}{\Gamma(n)}$。现在我们可以正式给出$\Gamma$分布的定义：称$X\sim\Gamma(n,\lambda)$，如果$X$具有如下的密度函数：

\[p(x)=\frac{\lambda^n}{\Gamma(n)}x^{n-1}e^{-\lambda x}. \]

当$n$为整数时，$\Gamma(n)=(n-1)!$。同时，我们得到一个重要结论：若$X_1,\cdots,X_n\stackrel{\mathrm{i.i.d.}}\sim E(\lambda)$，则

\[T=\sum_{j=1}^n X_j\sim \Gamma(n,\lambda). \]

Tlst <- c()
for (i in 1:100000){
  Tlst[i] <- sum(rexp(5, 3))  # T为5个E(3)样本之和
}

plot(density(Tlst), main = "T的样本密度", col = "blue", xlim = c(0, 6))
xlst <- seq(0, 6, 0.00001)
ylst <- dgamma(xlst, 5, 3)
lines(xlst, ylst, col = "red")

由于$\Gamma$分布核函数的特点，其期望和方差也是容易求出的。现设$X\sim \Gamma(n)$，则

\[\mathbb{E}(X)=\int_0^{\infty}\frac{\lambda^n}{\Gamma(n)}x^ne^{-\lambda x}\mathrm{d}x=\frac{\Gamma(n+1)}{\lambda\Gamma(n)}\int_0^{\infty}\frac{\lambda^{n+1}}{\Gamma(n+1)}x^{n+1-1}e^{-\lambda x}\mathrm{d}x=\frac{n}{\lambda}. \]

这说明$n$越大$X$的期望越大，$\lambda$越大$X$的期望越小，如果将其视为独立指数分布的和也能得到这个结论。

\[\mathbb{E}(X^2)=\frac{\Gamma(n+2)}{\lambda^2\Gamma(n)}=\frac{n(n+1)}{\lambda^2},\\ \mathbb{D}(X)=\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2=\frac{n}{\lambda^2}. \]

现在回到正题，计算指数分布均值倒数$\bar X^{-1}$的期望，先计算$T^{-1}$的期望，容易计算得到

\[\mathbb{E}(T^{-1})=\int_0^{\infty}\frac{\lambda ^n}{\Gamma(n)}x^{n-2}e^{-\lambda x}\mathrm{d}x=\frac{\lambda\Gamma(n-1)}{\Gamma(n)}=\frac{\lambda}{n-1}, \]

因此自然有

\[\mathbb{E}\left(\frac{1}{\bar X} \right)=\mathbb{E}\left(\frac{n}{\bar X} \right)=\frac{\lambda n}{n-1}. \]

因此，$\bar X^{-1}$只是$\lambda$的渐进无偏估计，可以对它经过无偏处理得到无偏估计：

\[\hat\lambda(\boldsymbol{X})=\frac{n-1}{n\bar X}. \]

下面进行$\hat \lambda$的有偏估计、无偏估计的模拟计算，从指数分布$E(2)$中抽样。为了体现出区别，图中的每一个点都是100个估计量的平均值。

rm(list = ls())
unbiased_estimator <- c()
biased_estimator <- c()
for (j in 1:100){
  meanlst <- c()
  for (i in 1:100){
    samples <- rexp(10, 2)  # 每次产生10个样本计算均值
    meanlst[i] <- 1/mean(samples)
  }
  biased_estimator[j] <- mean(meanlst)
  unbiased_estimator[j] <- 9/10*biased_estimator[j]
}

split.screen(c(1, 2))
screen(1)
plot(biased_estimator, main = "有偏估计", ylim = c(1.5, 2.5))
abline(h = 2, col = "blue")

screen(2)
plot(unbiased_estimator, main = "无偏估计", ylim = c(1.5, 2.5))
abline(h = 2, col = "blue")

Part 3：$\Gamma$分布与其他分布

$\Gamma$分布与许多分布具有紧密的联系（中心极限定理这种与正态分布的联系就不说了）。与指数分布的联系是显然的：$\Gamma(1,\lambda)$就是$E(\lambda)$，这点从上面的推导可以得出。

需要注意一点：指数分布的参数是其尺度参数。什么意思呢？对于$X\sim E(\lambda)$，它的分布函数是$F(x)=1-e^{-\lambda x}$，对其作伸缩变换$aX$，有

\[F_{aX}(x)=\mathbb{P}(aX<x)=F\left(\frac{x}{a} \right)=1- e^{-\frac{\lambda x}{a}}, \]

对比$F(x)$的形式，发现$aX\sim E(\lambda /a)$，这就代表伸缩变换不改变指数分布的性质，所以说指数分布的参数是其尺度参数。既然$\Gamma$分布是指数分布的直接推广，则$\Gamma$分布也具有这样的性质：若$X\sim \Gamma(n,\lambda)$，则

\[aX\sim \Gamma\left(n,\frac{\lambda }{a} \right). \]

这样的变换不改变数量参数$n$，这也是指数分布中得到的直接推广结论。

还记得正态分布的衍生分布——$\chi^2(n)$分布吗？之前，因为卡方分布的密度函数过于复杂，不好记忆，所以我们跳过了，但了解过$\Gamma$分布的密度函数后再回看卡方分布，就会有一种熟悉感。

对于$X\sim \chi^2(n)$，其密度函数为

\[p(x)=\frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}, \]

可以看到，它的核刚好是$e^{-x}$的某次方，乘以$x$的某次方形式，前面的正则化系数由核决定，因此，$\chi^2(n)$分布本质上也是$\Gamma$分布的一种特例，即

\[X\sim \Gamma\left(\frac{n}{2},\frac{1}{2} \right). \]

这样，再记忆$\chi^2(n)$分布的密度函数就会显得容易一些了。另外，如果$2n$是整数，也可以通过$\Gamma$分布的伸缩变换将其变成卡方分布：

\[X\sim \Gamma(n,\lambda)\Rightarrow 2\lambda X\sim \Gamma\left(n,\frac{1}{2} \right)=\chi^2(2n),\\ X\sim E(\lambda)\Rightarrow 2\lambda X\sim \chi^2(2). \]

最后，由于我们接下来要进入离散分布的参数估计，在这里也给出一个$\Gamma$分布与泊松分布的联系，这个联系在随机过程中会发挥一定的作用，其证明在数理统计中倒不是特别重要。

若$N$定义为满足下列条件的$n$值：$X_1,X_2,\cdots\stackrel{\mathrm{i.i.d.}}\sim E(\lambda)$，

\[\sum_{j=1}^n X_j\le 1<\sum_{j=1}^{n+1}X_j \]

则$N\sim P(\lambda)$。

下面给出这个定理的证明，其中的思想可以学习。

设$\sum_{j=1}^k X_j$的密度函数为$p_k(x)$，则由于$\sum _{j=1}^k X_j\sim \Gamma(k,\lambda)$，所以

\[p_k(x)=\frac{\lambda^k}{\Gamma(n)}x^{k-1}e^{-\lambda x}. \]
由全概率公式（连续形式），

\[\begin{aligned} &\quad \mathbb{P}(N=k)\\ &=\mathbb{P}\left(\sum_{j=1}^kX_i\le 1,\sum_{j=1}^{k+1}X_i>1 \right)\\ &=\int_0^1\mathbb{P}\left(\sum_{j=1}^{k+1} X_j>1\bigg|\sum_{j=1}^k X_i=x \right)p_k(x)\mathrm{d}x\\ &=\int_0^1\mathbb{P}(X_{k+1}>1-x)p_k(x)\mathbb{d}x\\ &=\int_0^1e^{-\lambda {(1-x)}}\frac{\lambda^k}{(k-1)!}x^{k-1}e^{-\lambda x}\mathrm{d}x\\ &=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{(k-1)!}\int_0^1 x^{k-1}\mathrm{d}x\\ &=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}. \end{aligned} \]
这是泊松分布的分布列，故$N\sim P(\lambda)$。

在上面两篇文章中，将连续分布的点估计进行了详细的讨论，并引出了次序统计量的分布，介绍了$\Gamma$分布与$\beta$分布。接下来，我们将转向离散型分布的参数点估计，看看离散形式下因子分解定理应当如何使用。

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