斜率优化通常使用单调队列辅助进行实现，用于优化 \(DP\) 的时间复杂度，比较抽象，需要读者有较高的数学素养。
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使用单调队列优化 \(DP\) ，通常可以解决型如： \(dp[i]=min(f(j))+g(i)\) 的状态转移方程。其中 \(f(i)\) 是只关于 \(i\) 的函数， \(g(j)\) 是只关于 \(j\) 的函数。朴素的解决方法是在第二层循环中枚举 \(j\) 来实现最小值，时间复杂度为 \(O(n^2)\) 。可以使用单调队列来维护这个最小值实现 \(O(n)\) 的时间复杂度。
而斜率优化利用上述方法进行改进，实现对于型如： \(dp[i]=min(f(i,j))+g(i)\) 的状态转移方程。对比第一种情况，可以发现函数 \(f\) 函数与两个值 \(i,j\) 都有关，简单地使用单调队列是无法优化的。这时候就开始引入主题斜率优化了。
下面结合一道例题来具体详解。题目来自于 \(HNOI2008\) 省选题目。
有 \(n\) 个数字 \(C\)，把它分为若干组，给出另一个数 \(L\) ，每组的花费为\((i-j+\sum_{k=i}^jC_k-L)^2\)，总花费为所有组的花费之和。求最小总花费。
先考虑朴素的 \(dp\) 做法。
设 \(dp[i]\) 为将前 \(i\) 个数字分组后的最小花费。求和可以考虑使用前缀和来优化，设前缀和数组为 \(pre\) 。则状态转移方程可以写为：
\(dp[i]=Min(dp[j]+(sum[i]-sum[j])+(i-(j+1))-L)^2,0≤j＜i)\)
即是：
\(dp[i]=Min(dp[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-L-1)^2,0≤j＜i)\)
那么 \(sum\) 数组可以初始化为：
for(int i = 1; i <= n; i++) {
Quick_Read(val[i]);
sum[i] = sum[i - 1] + val[i];
}
设 \(pre[i]=sum[i]+i\) ，再进一步设 \(l=L+1\) 那么状态转移方程可以写为：
\(dp[i]=Min(dp[j]+(pre[i]-pre[j]-l)^2,0≤j<i)\)
状态转移
int Get_Dp(int i, int j) {
return dp[j] + (pre[i] - pre[j] - l) * (pre[i] - pre[j] - l);
}
若枚举 \(j\) ，则时间复杂度为 \(O(n)^2\) ，时间复杂度不优。使用斜率优化可以对其进行优化。
假设当前枚举到 \(i\) ，需要得到 \(i\) 的状态。假设有两个决策点 \(j\) ， \(k\) ，满足决策点 \(j\) 优于决策点 \(k\) 。用符号语言可以表达为：
\(dp[j]+(pre[i]-pre[j]-l)^2<dp[k]+(pre[i]-pre[k]-l)^2\)
展开得：
\(dp[j]+pre[i]^2+pre[j]^2+l^2-2\times pre[i]\times pre[j]-2\times l\times pre[i]+2\times l\times pre[j]<dp[k]+pre[i]^2+pre[k]^2+l^2-2\times pre[i]\times pre[k]-2\times l\times pre[i]+2\times l\times pre[k]\)
进一步整理得 ：
\(dp[j]+pre[j]^2-dp[k]-pre[k]^2<(pre[i]-l)\times 2\times (pre[j] - pre[k])\)
观察可得：左边的式子只与 \(j\) 和 \(k\) 有关，但右边的式子还与 \(i\) 有关。也可以发现若满足上述式子，则会有 \(j\) 优于 \(k\) 。再分类讨论：
获得分子的函数：
int Get_Up(int j, int k) {
return dp[j] + pre[j] * pre[j] - dp[k] - pre[k] * pre[k];
}
获得分母的函数：
int Get_Down(int j, int k) {
return pre[j] - pre[k];
}
有了上述的一级结论，可以进一步推导出二级结论：
设 \(x,y\) 的斜率表示为 \(k(x,y)\) 。若存在三点 \(a,b,c\) ，有 \(k(a,b)>k(b,c)\) ，即是图像形成上凸的形状时，那么点 \(b\) 绝对不是最优的。
分类讨论：
那么就可以得出答案的点必须满足 \(k(a_1,a_2)<k(a_2,a_3)<...<k(a_{m-1},a_m)\) 。全部呈现出下凸状态，如下图。
这样下标递增，斜率递增的点集可以使用单调队列来维护。
找出当前最优的点为 \(que[head]\) ，即队头元素。
while(Get_Up(que[head + 1], que[head]) <= 2 * (pre[i] - l) * Get_Down(que[head + 1], que[head]) && head < tail)
head++;
用当前点 \(i\) 来更新队列，使得该队列呈下凸之势。
while(Get_Up(que[tail], que[tail - 1]) * Get_Down(i, que[tail]) >= Get_Up(i, que[tail]) * Get_Down(que[tail], que[tail - 1]) && head < tail)
tail--;
按照上述方法进行状态转移，得到的 \(dp[n]\) 就是当前的最优解。
代码比较短，一气呵成。（注意要开 \(long\) \(long\)）
#include <cstdio>
#define int long long
void Quick_Read(int &N) {
N = 0;
int op = 1;
char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9') {
if(c == '-')
op = -1;
c = getchar();
}
while(c >= '0' && c <= '9') {
N = (N << 1) + (N << 3) + (c ^ 48);
c = getchar();
}
N *= op;
}
void Quick_Write(int N) {
if(N < 0) {
putchar('-');
N = -N;
}
if(N >= 10)
Quick_Write(N / 10);
putchar(N % 10 + 48);
}
const int MAXN = 5e5 + 5;
int dp[MAXN];
int pre[MAXN], val[MAXN];
int n, l;
int que[MAXN];
int head, tail;
int Get_Dp(int i, int j) {
return dp[j] + (pre[i] - pre[j] - l) * (pre[i] - pre[j] - l);
}
int Get_Up(int j, int k) {
return dp[j] + pre[j] * pre[j] - dp[k] - pre[k] * pre[k];
}
int Get_Down(int j, int k) {
return pre[j] - pre[k];
}
void Line_Dp() {
head = 1;
tail = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
while(Get_Up(que[head + 1], que[head]) <= 2 * (pre[i] - l) * Get_Down(que[head + 1], que[head]) && head < tail)
head++;
dp[i] = Get_Dp(i, que[head]);
while(Get_Up(que[tail], que[tail - 1]) * Get_Down(i, que[tail]) >= Get_Up(i, que[tail]) * Get_Down(que[tail], que[tail - 1]) && head < tail)
tail--;
que[++tail] = i;
}
Quick_Write(dp[n]);
}
void Read() {
Quick_Read(n);
Quick_Read(l);
l++;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
Quick_Read(val[i]);
pre[i] = pre[i - 1] + val[i] + 1;
}
}
signed main() {
Read();
Line_Dp();
return 0;
}
