刷题记录第25题。本题地址：分割等和子集
给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
示例 1：
输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。
示例 2：
输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。
提示：
1 <= nums.length <= 200
1 <= nums[i] <= 100
刚开始没有注意到子集不一定为连续，比如nums = [1,1,3,3]明显满足题意。
看官方解析为0-1背包问题。在【labuladong】0-1背包问题详解视频中详细介绍了这个算法的分析和编码过程。
也就是说其实这里面临的是转化问题，要将题目描述转化为0-1背包问题。
比如nums=[1, 5, 11, 15]
我们知道：
sum一定为偶数；背包问题的基本定义为，对于二维数组dp，dp[i][j]表示：
对于前i个物品，当背包的容量为j的时候，可以装入背包的最大价值为dp[i][j]。
那么对于当前问题，nums=[1, 5, 11, 15]，可以设当前物品分别为1，2，3，4，nums即为对应价值。
那么我们所求为背包总容量为sum/2的时候，是否恰好可装入的最大价值为sum/2。
观看视频我们知道，起状态转移方程为：
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i - 1]] + nums[i - 1]);
因为j - nums[i - 1]在上式中为下标，表示背包的总价值，当价值小于0的时候，表示不可装入。那么就直接赋值为当前i个物品不装入，即上个物品的价值，表示如下：
if(j - nums[i - 1] < 0){
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}else{
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j],
dp[i - 1][j - nums[i - 1]] + nums[i - 1]);
}
完整代码：
public boolean canPartition(int[] nums) {
int sum = 0;
for (int num : nums) { // 求总和
sum += num;
}
if((sum & 1) == 1){ // 奇数
return false;
}
int len = nums.length;
int mid = sum / 2; // 最大价值
int[][] dp = new int[len + 1][mid + 1];
// len + 1 因为物品从1开始，而对应的价值下标为0开始
// mid + 1 是因为还有背包容量为0的情况
for (int i = 1; i <= len; i++) {
for (int j = 0; j < mid + 1; j++) {
if(j - nums[i - 1] < 0){
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}else{
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j],
dp[i - 1][j - nums[i - 1]] + nums[i - 1]);
}
}
}
return dp[len][mid] == mid;
}
对于上面的案例nums=[1, 5, 11, 15]，不妨这里将dp表格打印出来：
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
0 1 1 1 1 5 6 6 6 6 6 11 12 12 12 12 16
0 1 1 1 1 5 6 6 6 6 6 11 12 12 12 15 16
当i=0表示前0个，当j=0表示背包容量为0。
