牛顿法求平方根

原理

计算机常用循环来计算F的平方根.从某个猜测的x值开始,根据x^2与F的近似度来调整x,产生一个更好的猜测:

x -= (x * x - F) / (2 * x)

重复调整过程,猜测的结果会越来越精确,得到的答案越发的趋近实际的平方根. 我们可以设定精度,控制计算结果与实际结果的偏差.

实现

package main
import (
 "fmt"
 "math"
)
func Sqrt(F float64) float64 {
 x := 1.0
 for math.Abs(x * x - F) > 1e-10 {
 x -= (x * x - F) / (2 * x);
 }
 return x
}
func main() {
 fmt.Println("牛顿法求平方根:Sqrt(10) = ", Sqrt(10))
 fmt.Println("库函数求平方根:Sqrt(10) = ", math.Sqrt(10))
}

补充知识：X的平方根的golang实现

实现 int sqrt(int x) 函数。

计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。

由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

输入: 4

输出: 2

输入: 8

输出: 2

说明: 8 的平方根是 2.82842...,由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

首先遇到这种题目肯定要想到使用内置得api来解答：

//使用api来求解
func mySqrt(x int) int {
  f := float64(x)
  ff := math.Sqrt(f)
  return int(ff)
}

其次我们可以使用牛顿法求平方根：

牛顿法：（以本题为例子）

计算平方根，其实就是计算

x^2 =n

的解

令f(x)=x2-n，相当于求解f(x)=0的解，如上图所示。

首先取x0，如果x0不是解，做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线，与x轴的交点为x1。

同样的道理，如果x1不是解，做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线，与x轴的交点为x2。

以此类推。

以这样的方式得到的xi会无限趋近于f(x)=0的解。

判断xi是否是f(x)=0的解有两种方法：

一是直接计算f(xi)的值判断是否为0，二是判断前后两个解xi和xi-1是否无限接近。

经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f(xi) + f'(xi)(x - xi)，其中f'(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出xi+1=xi - f(xi) / f'(xi)。

继续化简

xi+1=xi - (xi2 - n) / (2xi) = xi - xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi + n/xi) / 2

迭代公式就已经出来了

x = (x + n/x) / 2

那么代码：

//使用牛顿法求平方根
func mySqrt1(x int) int {
  res := x
  //牛顿法求平方根
  for res*res > x {
    res = (res + x/res) / 2
  }
  return res
}

以上为个人经验，希望能给大家一个参考，也希望大家多多支持站长博客。如有错误或未考虑完全的地方，望不吝赐教。