在本系列中，我的个人见解将使用斜体标注。每篇文章的最后，我将选择摘录一些例题。由于文章是我独自整理的，缺乏审阅，难免出现错误，如有发现欢迎在评论区中指正。

Part 1：积空间

积空间与和空间都是把多个向量空间联系在一起的工具，最后也会给出它们的联系。

向量空间的积(product of vector spaces) 设\(V_1,\cdots,V_m\)都为\(\mathbb{F}\)上的向量空间，规定它们的积为

又被称为笛卡尔直积，在规定了向量空间积上的加法、标量乘法后，向量空间的积空间也成为向量空间。

• \(V_1\times\cdots\times V_m\)上的加法：

  \[(u_1,\cdots,u_m)+(v_1,\cdots,v_m)=(u_1+v_1,\cdots,u_m+v_m). \]

• \(V_1\times \cdots\times V_m\)上的乘法：

  \[\lambda(v_1,\cdots,v_m)=(\lambda v_1,\cdots,v_m). \]

要把积空间上的元素与\(m\)元组区分开。\(m\)元组中每一个分量都是\(\mathbb{F}\)上的数，积空间上的元素每一个分量都是\(V_i(\mathbb{F})\)上的向量，因此二者的维数是不同的。

积的维数等于维数的和 设\(V_1,\cdots,V_m\)都是有限维向量空间，则\(V_1\times \cdots\times V_m\)都是有限维的，且

证明这个结论，只需要找到\(V_1\times\cdots V_m\)的一组基即可。设\(e_{i,k}\)是\(V_i\)上的第\(k\)个基向量，则

\[\begin{matrix} (e_{1,1},\cdots,0) & \cdots & (e_{1,\dim V_1},\cdots,0) \\ \vdots & & \vdots \\ (0,\cdots,e_{m,1}) & \cdots & (0,\cdots,e_{m,\dim V_m}) \end{matrix} \]

以上向量阵中第\(i\)行拥有\(\dim V_i\)个元素，且容易证明它们线性无关、张成\(V_1\times\cdots\times V_m\)，所以是积空间的一组基。

积空间与和 设\(U_1,\cdots,U_m\)都是\(V\)的子空间，线性映射\(\Gamma:U_1\times\cdots\times U_m\to U_1+\cdots+U_m\)定义为

则\(U_1+\cdots+U_m\)是直和当且仅当\(\Gamma\)是单射。

单射代表\(\mathrm{null}\Gamma=\{(0,\cdots,0)\}\)，即\(u_1+\cdots+u_m=0\)当且仅当每一个\(u_i=0\)，故\(0\)的表示方式唯一，\(U_1+\cdots+U_m\)是直和。反之类似。

和为直和的条件 设\(V\)是有限维的，且\(U_1,\cdots,U_m\)均为\(V\)的子空间，则\(U_1+\cdots+U_m\)是直和当且仅当

此为上一条的直接推论，上面\(\Gamma\)是满的显然。

先证必要性。只要\(U_1+\cdots+U_m\)是直和，则\(\Gamma\)是单射，\(\Gamma\)是积空间与和空间的同构，它们维数相同，就有

\[\dim(U_1+\cdots+U_m)=\dim(U_1\times\cdots\times U_m)=\dim U_1+\cdots+\dim U_m. \]

再证充分性。只要这个维数公式成立，则和空间与积空间是同构的，由线性映射基本定理，

\[\dim (U_1\times\cdots\times U_m)=\dim\mathrm{null}\Gamma+\dim\mathrm{range}\Gamma, \]

又\(\Gamma\)是满的，所以\(\dim\mathrm{null}\Gamma=0\)，证明了\(\Gamma\)是单射，于是\(U_1+\cdots+U_m\)是直和。

Part 2：商空间

商空间可以看作是线性空间的扩展，使非线性空间也称为某个集合中的元素，并构成一个线性空间。

向量与子空间的和 设\(v\in V\)，\(U\)是\(V\)的子空间，则\(v+U\)是\(V\)的子集，定义为

显然，如果\(v\notin U\)，则\(0\notin v+U\)，故此时\(v+U\)不是向量空间。

仿射子集(affine subset) \(V\)的仿射子集是\(V\)的形如\(v+U\)的子集，其中\(v\in V\)，\(U\)是\(V\)的子空间。

平行(parallel) 对于\(v\in V\)和\(V\)的子空间\(U\)，称仿射子集\(v+U\)平行于\(U\)。

在二维或者三维空间上，平行有直观的几何意义，但此时给出的平行必须有相同的维数。

商空间(quotient space) 设\(U\)是\(V\)的子空间，则\(V/U\)是指\(V\)的所有平行于\(U\)的仿射子集构成的集合，即

典型例子是，齐次线性方程组的解空间构成一个子空间，对应的非齐次线性方程组的解空间，就是平行于上述子空间的一个仿射子集，所有这样的仿射子集构成商空间。所以说，商空间并非一个单独的集合，而是多个集合构成的集合。并且，商空间里的元素并不全是向量空间。

相关结论：设\(U\)是\(V\)的子空间，\(v,w\in V\)，则以下陈述等价：

1. \(v-w\in U\)；
2. \(v+U=w+U\)；
3. \((v+U)\cap (w+U)\ne \emptyset\)。

在低维空间上，这是很好理解的，给出了两个平行仿射子集相等的条件。

\(1\Rightarrow 2\)：若\(v-w=u\in U\)，则\(\forall v'\in v+U\)，存在\(u'\in U\)使得\(v'=v+u'=w+u+u'\)，从\(u+u'\in U\)得\(v'\in w+U\)，这就证明了\(v+U\subset w+U\)，反之可得\(w+U\subset v+U\)，所以

\[v+U=w+U. \]

\(2\Rightarrow 3\)：显然，因为\(v\in v+U\)，所以\(v+U\ne \emptyset\)，那么相同的集合自然有相交元素。

\(3\Rightarrow 1\)：若\(u\in v+U\)且\(u\in w+U\)，则\(\exists u_1,u_2\in U\)使得

\[u=v+u_1=w+u_2, \]

所以

\[v-w=u_2-u_1\in U. \]

为了使商空间是向量空间，给出商空间上的加法和乘法定义。

• 商空间上的加法：\((v+U)+(w+U)=v+w+U\)；
• 商空间上的标量乘法：\(\lambda(v+U)=\lambda v+U\)。

上述定义不能保证是有意义的，如果按照某个定义，两个相同的元素相加得不出确定的结果，则此定义是没有意义的。下证商空间上的加法和标量乘法是有意义的。

证明商空间上的加法有意义，即证明\(\forall v,w,\hat v,\hat w\)，如果

\[v+U=\hat v+U,\quad w+U=\hat w+U, \]

则

\[v+w+U=\hat v+\hat w+U. \]

由相关结论，有\(v-\hat v\in U,w-\hat w\in U\)，所以

\[v+w-(\hat v+\hat w)=(v-\hat v)+(w-\hat w)\in U, \]

故\((v+w+U)=(\hat v+\hat w+U)\)成立。

证明商空间上的标量乘法有意义，即证明\(\forall v_1,v_2,\lambda\)，如果

\[v_1+U=v_2+U, \]

则

\[\lambda v_1+U=\lambda v_2+U. \]

依然可以由相关结论给出证明。

商空间是向量空间 在上述的加法和乘法定义下，商空间是向量空间。

加法单位元是\(0+U=U\)，满足对任何\(v+U\)，有

\[(v+U)+(0+U)=(v+0)+U=v+U. \]

加法封闭性与标量乘法封闭性，本质是\(V\)上的封闭性，只要写出条件就容易证明。

合理的运算定义比起验证向量空间更重要，即好的开端是成功的一半。

商映射(quotient map) 设\(U\)是\(V\)的子空间，则商映射定义为\(\pi:V\to V/U\)，它使得\(\forall v\in V\)，

商映射中必须规定好\(U\)和\(V\)，由于商空间上运算的定义，商映射是一个线性映射。

\[\pi(v+w)=v+w+U=(v+U)+(w+U)=\pi(v)+\pi(w),\\ \pi(\lambda v)=\lambda v+U=\lambda(v+U)=\lambda\pi(v). \]

容易验证\(\pi\)是满射，且\(\forall u\in U\)，\(\pi(u)=\pi(0)\)。由商映射的线性映射基本定理，有

于是得到商空间的维数为

事实上，由于\(U\)是\(V\)的子集，所以\(U\)的基可以扩展成为\(V\)的基，设新增加的部分是\(v_1,\cdots,v_n\)，则则商空间的一组基就是\(\pi(v_1),\cdots,\pi(v_n)\)。

现在来看这个困扰人的\(\tilde T\)线性映射，要理解这个\(\tilde T\)，可以联想线性方程组。我们前面说过，商空间可以看成是齐次线性方程组的解空间的平行仿射子集构成的集合，那么，\(V/(\mathrm{null}T)\)里的每一个元素，事实上对应着一个非齐次线性方程组的解空间，\(v+\mathrm{null}T\)中，这个\(v\)表示的就是非齐次线性方程组的特解，\(Tv\)就对应着右端系数列。\(\tilde T\)将\(V\)上任一向量，映射到给定线性方程组下的右端系数向量。

\(\tilde T\) 设\(T\in\mathcal L(V,W)\)，定义\(\tilde T:V/(\mathrm{null}T)\to W\)为

由斜体部分的分析，\(\tilde T\)是有意义的，并且还是线性映射，下面我们来证明它。

如果\(v+\mathrm{null}T=w+\mathrm{null}T\)，则\(v-w\in\mathrm{null}T\)，所以

\[\tilde T(v+\mathrm{null}T)=Tv=Tv+T(w-v)=Tw=\tilde T(w+\mathrm{null}T). \]

这说明\(\tilde T\)是合理的。下证明\(\tilde T\)还是一个线性映射。

加性：

\[\begin{aligned} &\quad \tilde T((v+\mathrm{null}T)+(w+\mathrm{null}T)) \\ &=\tilde T(v+w+\mathrm{null}T) \\ &=T(v+w) \\ &=Tv+Tw\\ &=\tilde T(v+\mathrm{null}T)+\tilde T(w+\mathrm{null}T). \end{aligned} \]

齐性：

\[\tilde T(\lambda(v+\mathrm{null}T))=\tilde T(\lambda v+\mathrm{null}T)=T(\lambda v)=\lambda Tv=\lambda \tilde T(v+\mathrm{null}T). \]

线性性得证。

\(\tilde T\)的零空间和值域 设\(T\in\mathcal L(V,W)\)，则

1. \(\mathrm{null}\tilde T=\mathrm{null}T\)，即\(\tilde T\)是单射。（但这里不能说\(\tilde T\)与\(T\)有相同的零空间，因为\(\mathrm{null}T\)只是\(V/\mathrm{null}T\)中的一个元素）
2. \(\mathrm{range}\tilde T=\mathrm{range}T\)，即\(T\)与\(\tilde T\)有相同的值域。
3. \(V/\mathrm{null}T\)与\(\mathrm{range}T\)同构。

1、设\(v\in V\)，且\(v+\mathrm{null}T\in \mathrm{null}\tilde T\)。则

\[\tilde T(v+\mathrm{null}T)=Tv=0, \]

则\(v\in\mathrm{null}T\)，所以

\[\mathrm{null}\tilde T=v+\mathrm{null}T=0+\mathrm{null}T=\mathrm{null}T. \]

2、\(\forall v\in V\)，

\[\tilde T(v+\mathrm{null}T)=Tv\in\mathrm{range}T, \]

所以\(\mathrm{range}\tilde T\subset \mathrm{range}T\)。另一方面，\(\forall w\in \mathrm{range}T\)，\(\exists v\in V\)使得\(Tv=w\)，则

\[\tilde T(v+\mathrm{null}T)=Tv=w, \]

所以\(w\in \mathrm{range}\tilde T\)，也即\(\mathrm{range}T=\mathrm{range}\tilde T\)。

3、对\(\tilde T\)，将其视为到\(\mathrm{range}T\)上的映射，则\(\tilde T\)是一个同构。

另外，如果\(\mathrm{range}T\)是有限维的，则由线性映射基本定理有

\[\dim(V/\mathrm{null}T)=\dim\mathrm{null}\tilde T+\dim\mathrm{range}\tilde T=\dim\mathrm{range}T, \]

这就说明\(V/\mathrm{null}T\)与\(\mathrm{range}T\)维数相同，即同构。

Part 3：多项式

由于线性泛函部分的内容较多，调换一下顺序，对结构不影响。多项式部分，掌握基础结论即可，证明不是线性代数方面的重点。

实部(real part)与虚部(imaginary part) 设\(z=a+b\mathrm{i}\)，则记\(z\)的实部和虚部为

• \(\forall z\in\mathbb{C}\)，\(z=\Re(z)+\Im(z)\mathrm{i}\)。

复共轭(complex conjugate) 设\(z\in\mathbb{C}\)，则记\(z\)的复共轭为

绝对值(absolute value) 设\(z\in\mathbb{C}\)，则记\(z\)的绝对值为

复数的相关性质：

1. \(z+\bar z=2\Re(z)\)。

2. \(z-\bar z=2\Im(z)\mathrm{i}\)。

3. \(z\bar z=|z|^2\)。

4. 复共轭具有可加性和可乘性，即

   \[\overline{z+w}=\bar z+\bar w,\\ \overline{zw}=\bar z\bar w. \]

5. \(\bar{\bar z}=z\)。

6. 复数的实部和虚部有界于\(|z|\)，即

   \[\Re(z)\le |z|,\quad \Im(z)\le |z|. \]

7. 复共轭的绝对值与原复数的绝对值相等，即

   \[|\bar z|=|z|. \]

8. \(|wz|=|w||z|\)。

9. 三角不等式：

   \[|w+z|\le |w|+|z|. \]

零函数 设\(a_0,\cdots,a_m\in\mathbb{F}\)，若\(\forall z\in\mathbb{F}\)，均有

则\(a_0=\cdots=a_m=0\)。

次数(degree) 若一个多项式可以写成

的形式，则称此多项式的次数为\(m\)，即\(\mathrm{deg}p=m\)。

• 规定\(0\)多项式的次数为\(-\infty\)，\(\forall m\in\mathbb{Z}\)，有\(-\infty <m\)和\(-\infty +m=-\infty\)。
• \(\mathrm{deg}(pq)=\mathrm{deg}p+\mathrm{deg}q\)。

多项式的带余除法 设\(p,s\in\mathcal P(\mathbb{F})\)，\(s\ne 0\)，则存在唯一的多项式\(q,r\in\mathcal P(\mathbb{F})\)，使得

这个定理是下面结论的基础，且证明方式可以使用线性代数的方法，因此摘录于此。

设\(\mathrm{deg}p=n\)，\(\mathrm{deg}s=m\)。如果\(n<m\)，则取\(q=0,r=p\)，带余除法就成立。

当\(n\ge m\)时，定义\(T:\mathcal P_{n-m}(\mathbb{F})\times \mathcal P_{m-1}(\mathbb{F})\to \mathcal P_n(\mathbb{F})\)为

\[T(q,r)=sq+r. \]

要验证此\(T\)是既单又满的。

先证明\(T\)是单射，若\((q,r)\in\mathrm{null}T\)，则\(sq+r=0\)，这表明\(q=0\)且\(r=0\)，否则\(\mathrm{deg}(sp)=nm\ge m>\mathrm{deg}r\)，不可能有\(sq=-r\)。于是\(T\)是单射。

再证明\(T\)是满射，由线性映射基本定理，对\(T\)有

\[\dim(\mathcal P_{n-m}(\mathbb{F})\times\mathcal P_{n-1}(\mathbb{F}))=n+1=\dim\mathrm{range}(T)=\dim\mathcal P_n(\mathbb{F}), \]

因此\(T\)是满射，结论得证。

零点(zero) 如果对\(\lambda \in\mathbb{F}\)有\(p(\lambda)=0\)，则称\(\lambda\)是\(p\in\mathcal P(\mathbb{F})\)的零点。

因式(factor) 如果存在多项式\(q\in\mathcal P(\mathbb{F})\)使得\(p=sq\)，则称\(s\)是\(p\)的因式。

零点与因式的对应关系 设\(p\in\mathcal P(\mathbb{F})\)，\(\lambda \in\mathbb{F}\)，则\(p(\lambda)=0\)当且仅当存在多项式\(q\in\mathcal P(\mathbb{F})\)，使得对每个\(z\)，都有

多项式零点的个数上限 设\(p\in\mathcal P(\mathbb{F})\)，\(\mathrm{deg}p=m\ge 0\)，则\(p\)在\(\mathbb{F}\)中至多有\(m\)个互不相同的零点。

代数学基本定理 每个非常数的复系数多项式都有零点。

\(\mathbb{C}\)上多项式的分解 若\(p\in\mathcal P(\mathbb{C})\)是非常数多项式，则\(p\)可以唯一分解为

其中\(c,\lambda_1,\cdots,\lambda_m\in\mathbb{C}\)。这里的唯一性是不计因式顺序的。

\(\mathbb{R}\)上多项式的零点成对出现 设\(p\in\mathcal P(\mathbb{C})\)是实系数多项式，若\(\lambda\in\mathbb{C}\)是\(p\)的零点，则\(\bar \lambda\)也是\(p\)的零点。

\(\mathbb{R}\)上二次多项式的分解 设\(b,c\in\mathbb{R}\)，则存在\(\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}\)使得分解式

成立的充要条件是\(b^2-4c>0\)。

\(\mathbb{R}\)上多项式的分解 设\(p\in\mathcal P(\mathbb{R})\)是非常数多项式，则\(p\)可以唯一分解为

这里\(c,\lambda_1,\cdots,\lambda_m,b_1,c_1,\cdots,b_M,c_M\in\mathbb{R}\)，且\(\forall j=1,\cdots,M\)，有\(b_j^2<4c_j\)。

例题

第一题（3.E 1） 设\(T\)是\(V\)到\(W\)的函数，定义\(T\)的图为\(V\times W\)的如下子集：

证明\(T\)是线性映射当且仅当\(T\)的图是\(V\times W\)的子空间。

必要性：若\(T\)是线性映射，则\(\forall (v,Tv),(w,Tw)\in G_T\)，

\[(v,Tv)+(w,Tw)=(v+w,Tv+Tw)=(v+w,T(v+w))\in G_T,\\ \lambda (v,Tv)=(\lambda v,\lambda Tv)=(\lambda v,T(\lambda v))\in G_T,\\ (0,0)=(0,T(0))\in G_T. \]

充分性：若\(G_T\)是子空间，则

\[(v,Tv)+(w,Tw)=(v+w,Tv+Tw)\in G_T, \]

即\(T(v+w)=Tv+Tw\)；

\[\lambda(v,Tv)=(\lambda v,\lambda Tv)\in G_T, \]

即\(T(\lambda v)=\lambda Tv\)。

第二题（3.E 8） 证明\(V\)的非空子集\(A\)是\(V\)的仿射子集当且仅当对所有的\(v,w\in A\)和\(\lambda \in\mathbb{F}\)，都有

即说明仿射子集具有凸组合性。

必要性：设\(A=v_0+U\)，\(v_0\in V\)，则

\[v=v_0+u_1,\quad w=v_0+u_2,\quad u_1,u_2 \in A. \]

于是

\[\lambda v+(1-\lambda )w=v_0+(\lambda u_1+(1-\lambda )u_2)\in A. \]

充分性：设\(u=w-v\)，取\(U=\mathrm{span}(u)\)，则\(w=u+v\)。而

\[\lambda v+(1-\lambda )w=\lambda v+(1-\lambda )u+(1-\lambda)v=v+(1-\lambda)u\in v+U. \]

所以取\(A=v+\mathrm{span}(U)\)，即证明\(V\)是仿射子集。