前缀和以及差分问题：

导论：

该博客记录前缀和问题以及差分的解题步骤与相应公式;

理解其中变化，有不完善的地方慢慢补全；

如果有错误欢迎指出！

前缀和：

首先需要知道前缀和的概念：即数组该位置之前的元素之和。

还有一个重要的点，在进行前缀和的运算时，下标从1开始，设数组a[0]=0;

比如a[5] = {0,1,2,3,4};

求a[1]的前缀和：a[1];

求a[2]的前缀和：a[1]+a[2];

......

为什么下标要从1 开始：为了方便后面的计算，避免下标转换，设为零，不影响结果

前缀和的作用： 快速求出元素组中某段区间的和

一维数组的前缀和问题:

求数组a中（l，r）区间的和 --->用到前缀和

1. 需要定义两个数组，第一个为原始数组(a[])，第二个为前缀和数组(s[])

   //初始化原数组
   int[] arr = new int[x];
   for (int i = 1; i <= n; i++) {
   	arr[i] = sc.nextInt();
   }
   

2. 公式：s[i] = s[i-1]+a[i] {其中s[i]表示a数组的前i项的和}

   //前缀和的计算
   int[] s = new int[x];
   for (int i = 1; i <=n ; i++) {
   	s[i] = s[i-1]+arr[i];
   }
   

3. 输入区间范围(l,r)，s[r]-s[l-1]的结果就是所求区间的和

   sum[r] =a[1]+a[2]+a[3]+a[l-1]+a[l]+a[l+1]......a[r];
   sum[l-1]=a[1]+a[2]+a[3]+a[l-1];
   
   sum[r]-sum[l-1]=a[l]+a[l+1]+......+a[r];
   

   while (m-- !=0){
       int l = sc.nextInt();
       int r = sc.nextInt();
       System.out.println(s[r]-s[l-1]);
   }
   

二维数组的前缀和问题:

方法与一维数组大体相同：需要中间数组s[i][j]

1. 定义两个二维数组，第一个为原始数组a[][],第二个为临时数组b[][]

   // 初始化原始数组
   int[][] arr = new int[n+1][m+1];
   for (int i = 1; i <= n; i++) {
       for (int j = 1; j <=m ; j++) {
       	arr[i][j] = sc.nextInt();
       }
   }
   

2. 公式：s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + arr[i][j]

   

   //定义s二维数组，求解前缀和s数组
   int[][] s = new int[n+1][m+1];
   for (int i = 1; i <= n; i++) {
       for (int j = 1; j <=m ; j++) {
           s[i][j] = s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+arr[i][j];
       }
   }
   

3. 输入区间范围（x1,y1,x2,y2）,s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]的结果就是所求区间的和；

   //求解前缀和
   while(q-- !=0){
       int x1 = sc.nextInt();
       int y1 = sc.nextInt();
       int x2 = sc.nextInt();
       int y2 = sc.nextInt();
       int res = s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1];
       System.out.println(res);
   }
   

差分问题：

首先明白差分的概念：差分其实就是前缀和的逆运算

差分的作用：如果对某个区间需要每个元素加上C则需要使用差分来减少时间复杂度

差分的重点是：构造临时数组b[]

b[1] = a[1]
b[2] = a[2] - a[1]
b[3 ]= a[3] - a[2]
...
b[n] = a[n] - a[n-1]

public static void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c){
    b[x1][y1] += c;
    b[x2+1][y1] -=c;
    b[x1][y2+1] -=c;
    b[x2+1][y2+1] +=c;
}