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文章首发于微信公众号：几何思维
有一只蚂蚁出去寻找食物，无意中进入了一个迷宫。蚂蚁只能向上、下、左、右4个方向走，迷宫中有墙和水的地方都无法通行。这时蚂蚁犯难了，怎样才能找出到食物的最短路径呢？
蚂蚁在起点时，有4个选择，可以向上、下、左、右某一个方向走1步。
如果蚂蚁走过了一段距离，此时也依然只有4个选择。
当然要排除之前走过的地方（不走回头路，走了也只会更长）和无法通过的墙和水。
蚂蚁想，还好我会影分身。如果每一步都分身成4个蚂蚁，向4个方向各走1步，这样最先找到食物的肯定就是最短的路径了（因为每一步都把能走的地方都走完了，肯定找不出更短的路径了）。
而且还能看出，第1步会到达所有到起点距离为1的地方，第2步也会到达所有距离为2的地方。
如此类推，第n步会覆盖所有到起点最短距离为n的地方。
把迷宫地图放在二维数组中，能通行的地方为0，墙和水的地方为负数。
每一步向4个方向走，可以通过当前坐标\((x,y)\)加上一个方向向量。
这个其实就是宽度优先搜索(BFS)的思想。
又称广度优先搜索，优先向四周扩展子节点，是最简便的图的搜索算法之一，一般通过队列来实现。
是一种特殊的线性表，它只允许在表的前端进行删除操作，而在表的后端进行插入操作，即先进先出。
队列一般通过数组实现，对该数组增加一些操作上的限制。
但上面的实现有一些缺陷，当队列满时，也就是tail指针移动到队尾，这时就无法再插入数据，但前面的元素已经出队了，可能还有空缺的位置。
为了能高效利用空间，对该队列增加一点改进，也就是循环队列的产生。
把队列想象成一个首尾相接的环形。
数组实现，需要多预留一个空间。如果head=tail时，无法判断是队空还是队满，所以占用一个空间，通过tail+1与head的关系来判断是否队满。
实现步骤如下：
回归迷宫问题，到起点的距离为1,2,3...的点会依次入队。
当head指针遍历到距离为2的点时，向4周扩展距离为3的节点，并继续入队。
// 方向向量
const int direction[4][2] = {{0, 1},
{-1, 0},
{0, -1},
{1, 0}};
const int MAXM = 100, MAXN = 100, QUEUE_LENGTH = 5;
// 队列中的节点
struct Node {
int x, y, distance;
Node() {}
Node(int xx, int yy, int d) : x(xx), y(yy), distance(d) {}
};
int n, m, step = 0, map[MAXM][MAXN], visit[MAXM][MAXN];
Node start, target;
void bfs() {
Node queue[QUEUE_LENGTH];
int head = 0, tail = 1;
queue[0] = Node(start.x, start.y, 0);
visit[start.x][start.y] = 0;
while (head != tail) {
int x = queue[head].x;
int y = queue[head].y;
int distance = queue[head].distance;
head = (head + 1) % QUEUE_LENGTH;
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
int dx = x + direction[i][0];
int dy = y + direction[i][1];
if (dx >= 0 && dx < m && dy >= 0 && dy < n && visit[dx][dy] == -1 && map[dx][dy] >= 0) {
// 表示从i方向走过来的，方便后续回溯路径
visit[dx][dy] = i;
if (dx == target.x && dy == target.y) {
cout << "已到目标点，最短距离为" << distance + 1 << endl;
step = distance + 1;
return;
}
if ((tail + 1) % QUEUE_LENGTH == head) {
cout << "队列满" << endl;
return;
}
// 新坐标入队
queue[tail] = Node(dx, dy, distance + 1);
tail = (tail + 1) % (QUEUE_LENGTH);
}
}
}
}
void printPath() {
int x, y, d, path[MAXM][MAXN] = {0};
for (int i = 0; i < m; ++i) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
path[i][j] = -1;
}
}
x = target.x;
y = target.y;
path[start.x][start.y] = 0;
// 路径回溯
while (!(x == start.x && y == start.y)) {
path[x][y] = step--;
d = visit[x][y];
x -= direction[d][0];
y -= direction[d][1];
}
// 路径打印
for (int i = 0; i < m; ++i) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
if (path[i][j] >= 0) {
cout << path[i][j];
} else {
cout << "-";
}
}
cout << endl;
}
}
int main() {
cin >> m >> n;
for (int i = 0; i < m; ++i) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
cin >> map[i][j];
visit[i][j] = -1;
}
}
cin >> start.x >> start.y >> target.x >> target.y;
bfs();
if (step > 0) printPath();
return 0;
}
输入数据：
5 5
0 0 -1 0 0
0 0 0 0 -2
-1 0 -2 0 0
0 0 0 -1 0
0 -2 0 0 0
1 1 4 3
输出：
已到目标点，最短距离为5
路径打印：
-----
-0---
-1---
-23--
--45-
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