非常抱歉，这篇文章之前出锅了，如果对您产生了误导，在此向您道歉！
前置知识：一些数论函数，比如欧拉函数、莫比乌斯函数的一些性质，积性函数及性质，整除分块。
这里默认大家会前置知识，如果不会请自行学习。

之前尝试看过，结果后来都忘光了，于是还是决定应该写个学习笔记记录一下。

首先开始介绍莫比乌斯反演。
我们设$f(d)$和$F(n)$为定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足下列条件：$F(n)={\sum }_{d|n}f(d)$。那么根据莫比乌斯反演，有$$f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)F(?\frac{n}{d}?)$$
证明一会儿讲狄利克雷卷积之后再证。

当然，如果是$F(n)={\sum }_{n|d}f(d)$，那么我们有$$f(n)=\sum _{n|d}\mu (?\frac{d}{n}?)F(d)$$

莫比乌斯反演经常用来解决这样一类问题：我们要求$f(n)$，但是$f(n)$并不好求，但是我们可以找到一个函数$F(n)$，满足$F(n)={\sum }_{d|n}f(d)$或者$F(n)={\sum }_{n|d}f(d)$，并且$F(n)$比较容易求出来，那么我们就可以求出$F(n)$，然后利用反演求出$f(n)$。具体的代码实现时通常是用到整除分块来做到$O(\sqrt{n})$来算出结果。

这里要用到一些复杂度优秀的筛法来预处理一些积性函数的前缀和，通常是$\mu$函数。比较简单地，我们可以用线性筛求出$\mu$函数等积性函数，然后$O(n)$求前缀和。
但是我们会发现有些题目是需要复杂度更优秀的筛法的。我暂时还不会洲阁筛和min_25筛，于是在这里介绍一下杜教筛。

杜教筛是一种利用狄利克雷卷积来求前缀和的算法，所以在介绍杜教筛之前我先来介绍一下狄利克雷卷积。
先介绍几种函数，以下函数都是积性函数。
$d(n)$：表示$n$的约数个数。$d(n)={\sum }_{d=1}^n[d|n]$，$[]$应该是表示内部如果是true的话就是1，否则就是0的样子。
$e(n)$：$e(n)=[n=1]$
$1(n)$：恒等函数，值始终是1
$id(n$